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Sistemas de ecuaciones para la PAU: Gauss, Cramer y Rouché, con ejemplos resueltos y un simulacroSystems of equations for the PAU: Gauss, Cramer and Rouché, with worked examples and a mock exam

Los sistemas de ecuaciones en la PAU son siempre lo mismo: decir cuántas soluciones hay y encontrarlas. Aquí tienes cómo leerlo en la última fila, Gauss y Cramer paso a paso, cómo discutir con un parámetro y un simulacro de 40 minutos con rúbrica. Vale para Matemáticas II y para Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II.Systems of equations at the PAU are always the same job: say how many solutions there are and find them. Here is how to read it from the last row, Gauss and Cramer step by step, how to discuss a system with a parameter, and a 40-minute mock with a rubric. It works for Maths II and for Social Sciences Maths II.

1Lo imprescindibleThe must-knows 2Ejemplos resueltosWorked examples 3Conviene saberloGood to know 4SimulacroMock exam 5Corrígete túMark it yourself
Parte 1Part 1

Lo imprescindible de los sistemas de ecuacionesThe must-knows of systems of equations

Un sistema solo puede acabar de tres formas. Si sabes reconocerlas, ya tienes medio ejercicio.A system can only end in three ways. If you can recognise them, you already have half the exercise.

Las tres salidas se leen en la última filaThe three outcomes are read from the last row

SCDnúmero = númeronumber = numberUna solución. Rg(A) = Rg(A') = n.º de incógnitas.One solution. Rank(A) = Rank(A') = number of unknowns.
SCI0 = 0Infinitas soluciones. Rg(A) = Rg(A') y menor que las incógnitas. Has perdido una ecuación porque era dependiente.Infinitely many solutions. Rank(A) = Rank(A'), less than the unknowns. You lost an equation because it was dependent.
SI0 = número0 = numberNinguna solución. Rg(A) ≠ Rg(A'). Es una contradicción.No solution. Rank(A) ≠ Rank(A'). It is a contradiction.
01 · forma matricial01 · matrix form

Todo sistema es A·X = BEvery system is A·X = B

A son los coeficientes, X la columna de incógnitas y B los términos independientes. A' es la ampliada: A con la columna B pegada.A holds the coefficients, X the column of unknowns and B the constants. A' is the augmented matrix: A with column B attached.

02 · Rouché02 · Rouché

Rouché-Fröbenius compara dos rangosRouché-Fröbenius compares two ranks

Calcula Rg(A) y Rg(A'), y compáralos con el número de incógnitas. Un truco que ahorra cuentas: siempre se cumple Rg(A') ≥ Rg(A).Find Rank(A) and Rank(A'), and compare them with the number of unknowns. A shortcut that saves work: Rank(A') ≥ Rank(A) always holds.

03 · Gauss03 · Gauss

Gauss: para cuando tengas un cero y dos cerosGauss: stop at one zero and two zeros

Pon arriba la fila más cómoda. Con ella haz ceros en una columna. Luego usa las otras dos entre sí. Cuando una fila tenga un cero y otra tenga dos, has terminado: vuelve a las ecuaciones y resuelve de abajo arriba.Put the easiest row on top. Use it to make zeros in one column. Then use the other two rows against each other. When one row has one zero and another has two, you are done: go back to equations and solve from the bottom up.

04 · Cramer04 · Cramer

Cramer: cambia una columna por BCramer: swap one column for B

Solo sirve si |A| ≠ 0. Cada incógnita es el determinante con su columna sustituida por B, dividido entre |A|. Y hay un tercer camino: X = A−1·B, multiplicando por la izquierda.It only works when |A| ≠ 0. Each unknown is the determinant with its column replaced by B, divided by |A|. There is a third route too: X = A−1·B, multiplying on the left.

Si te falla el rango o el determinante, empieza por las matrices para la PAU.If rank or determinants are shaky, start with matrices for the PAU.

Parte 2Part 2

Ejemplos resueltosWorked examples

Son los tipos que salen. Intenta cada uno antes de abrir la solución.These are the types that come up. Try each one before you open the solution.

Ejemplo 1: Gauss, una soluciónExample 1: Gauss, one solution

x + 2y + z = 82x − y + z = 33x + y − z = 2
Ver la soluciónSee the solution
  1. La primera fila ya tiene un 1 delante. Se queda arriba.The first row already starts with a 1. It stays on top.
  2. F2 − 2F1 da (0, −5, −1 | −13). F3 − 3F1 da (0, −5, −4 | −22).F2 − 2F1 gives (0, −5, −1 | −13). F3 − 3F1 gives (0, −5, −4 | −22).
  3. Las dos nuevas filas entre sí: F3 − F2 da (0, 0, −3 | −9). Ya hay un cero en una fila y dos en otra.The two new rows against each other: F3 − F2 gives (0, 0, −3 | −9). One row has one zero and another has two.
  4. De abajo arriba: −3z = −9, z = 3. Luego −5y − 3 = −13, y = 2. Por último x + 4 + 3 = 8, x = 1.Bottom up: −3z = −9, z = 3. Then −5y − 3 = −13, y = 2. Finally x + 4 + 3 = 8, x = 1.

Solución (1, 2, 3). Última fila número = número: SCD, con Rg(A) = Rg(A') = 3.Solution (1, 2, 3). Last row number = number: SCD, with Rank(A) = Rank(A') = 3.

Ejemplo 2: el mismo sistema por CramerExample 2: the same system with Cramer

Ver la soluciónSee the solution
|A| =1212−1131−1= 15
x =8213−1121−1/ 15 = 15/15 = 1
y =18123132−1/ 15 = 30/15 = 2
z =1282−13312/ 15 = 45/15 = 3

Cada determinante es |A| con la columna de esa incógnita cambiada por B. Sale lo mismo que por Gauss, como tiene que ser.Each determinant is |A| with that unknown's column swapped for B. It matches Gauss, as it must.

Ejemplo 3: infinitas solucionesExample 3: infinitely many solutions

x − y + 2z = 12x − 2y + 4z = 2x + y + z = 4
Ver la soluciónSee the solution
  1. F2 − 2F1 da (0, 0, 0 | 0). Es 0 = 0: has perdido una ecuación porque era dependiente.F2 − 2F1 gives (0, 0, 0 | 0). That is 0 = 0: you lost an equation because it was dependent.
  2. F3 − F1 da (0, 2, −1 | 3). Quedan dos ecuaciones y tres incógnitas.F3 − F1 gives (0, 2, −1 | 3). Two equations and three unknowns remain.
  3. Llama z = λ, que hace de tercera ecuación. Entonces y = (3 + λ)/2.Call z = λ, which acts as the third equation. Then y = (3 + λ)/2.
  4. Sustituye en la primera: x = 1 + y − 2λ = (5 − 3λ)/2.Substitute in the first: x = 1 + y − 2λ = (5 − 3λ)/2.

SCI: ((5 − 3λ)/2, (3 + λ)/2, λ) con λ real. Comprueba con un valor: λ = 1 da (1, 2, 1), que cumple las tres ecuaciones.SCI: ((5 − 3λ)/2, (3 + λ)/2, λ) with real λ. Check a value: λ = 1 gives (1, 2, 1), which satisfies all three equations.

Ejemplo 4: ninguna soluciónExample 4: no solution

x + 2y − z = 12x + 4y − 2z = 5x − y + z = 0
Ver la soluciónSee the solution

F2 − 2F1 da (0, 0, 0 | 3), o sea 0 = 3. Es una contradicción y no hace falta seguir.F2 − 2F1 gives (0, 0, 0 | 3), so 0 = 3. That is a contradiction and there is no need to go on.

SI: el sistema no tiene solución. Rg(A) ≠ Rg(A').SI: the system has no solution. Rank(A) ≠ Rank(A').

Ejemplo 5: discutir con un parámetroExample 5: discussing with a parameter

Discute el sistema según a, y resuélvelo para a = 2.Discuss the system in terms of a, and solve it for a = 2.

A' =121a + 1a11a − 11−113
Ver la soluciónSee the solution
  1. Determinante de A: |A| = 3 − 3a. Es 0 solo si a = 1.Determinant of A: |A| = 3 − 3a. It is 0 only when a = 1.
  2. Si a ≠ 1: Rg(A) = 3. Como Rg(A') ≥ Rg(A) y A' no puede pasar de 3, Rg(A') = 3 sin hacer cuentas. SCD.If a ≠ 1: Rank(A) = 3. Since Rank(A') ≥ Rank(A) and A' cannot exceed 3, Rank(A') = 3 with no work. SCD.
  3. Si a = 1: el menor de las dos primeras filas y columnas vale 1 − 2 = −1 ≠ 0, así que Rg(A) = 2.If a = 1: the minor from the first two rows and columns is 1 − 2 = −1 ≠ 0, so Rank(A) = 2.
  4. Para A' con a = 1, usa un menor que incluya B: columnas 2, 3 y B.For A' with a = 1, use a minor that includes B: columns 2, 3 and B.
212110−113= 7 ≠ 0

Rg(A') = 3 y Rg(A) = 2: para a = 1 el sistema es SI.Rank(A') = 3 and Rank(A) = 2: for a = 1 the system is SI.

Para a = 2 queda x + 2y + z = 3, 2x + y + z = 1, x − y + z = 3. F1 − F3 da 3y = 0, luego y = 0. Quedan x + z = 3 y 2x + z = 1, de donde x = −2 y z = 5.For a = 2 we get x + 2y + z = 3, 2x + y + z = 1, x − y + z = 3. F1 − F3 gives 3y = 0, so y = 0. That leaves x + z = 3 and 2x + z = 1, so x = −2 and z = 5.

a ≠ 1: SCD. a = 1: SI. Para a = 2, la solución es (−2, 0, 5).a ≠ 1: SCD. a = 1: SI. For a = 2, the solution is (−2, 0, 5).

Conviene saberlo: lo que más puntos cuestaGood to know: what costs the most marks

  • Parar antes de tiempo. Una fila 0 = 0 no significa que no haya solución. Significa que hay infinitas.Reading 0 = 0 wrongly. A row 0 = 0 does not mean no solution. It means infinitely many.
  • Olvidar el caso del parámetro. Si |A| = 0 para algún valor, ese valor hay que estudiarlo aparte. Ahí está la mitad de los puntos.Skipping the parameter case. If |A| = 0 for some value, that value needs its own study. Half the marks are there.
  • Calcular Rg(A') sin B. El menor que decide tiene que incluir la columna B. Si no la incluye, solo estás mirando A otra vez.Finding Rank(A') without B. The deciding minor must include column B. If it does not, you are just looking at A again.
  • |k·A| no es k·|A|. En una matriz n × n, |k·A| = kn·|A|, porque k multiplica todas las filas. En 3 × 3, |2A| = 8|A|. Multiplicar una sola fila por k sí multiplica el determinante por k.|k·A| is not k·|A|. For an n × n matrix, |k·A| = kn·|A|, because k multiplies every row. In 3 × 3, |2A| = 8|A|. Multiplying a single row by k does multiply the determinant by k.
  • Cuidado con el signo al restar. Al desarrollar −m(m − 1) sale −m² + m. Un signo aquí cambia el valor crítico del parámetro.Watch the sign when subtracting. Expanding −m(m − 1) gives −m² + m. One sign here changes the critical value of the parameter.
  • No comprobar. Sustituir la solución en las tres ecuaciones lleva un minuto y te dice si puedes pasar al siguiente ejercicio.Not checking. Substituting your solution into all three equations takes a minute and tells you whether you can move on.
Parte 3Part 3

Simulacro de sistemasSystems mock exam

Cuatro ejercicios de 2,5 puntos, 40 minutos. Sin mirar nada. Son ejercicios propios, del tipo de los que salen, no enunciados de un examen real.Four exercises worth 2.5 points each, 40 minutes. No notes. These are our own exercises of the usual type, not questions from a real exam.

40:00
NotaScore 0,0 / 10

Ejercicio 1Exercise 1

2,5 puntos2.5 points
  1. a)(1,5 puntos) Resuelve por Gauss: 2x + y − z = 1, x − y + 2z = 5, 3x + 2y + z = 10.(1.5 points) Solve by Gauss: 2x + y − z = 1, x − y + 2z = 5, 3x + 2y + z = 10.
  2. b)(1 punto) Clasifica sin resolver: x + y + z = 2, 2x − y + 3z = 1, x − 2y + 2z = 3.(1 point) Classify without solving: x + y + z = 2, 2x − y + 3z = 1, x − 2y + 2z = 3.
Solución y correcciónSolution and marking
a)

Pivote F2 = (1, −1, 2 | 5). F1 − 2F2 da (0, 3, −5 | −9). F3 − 3F2 da (0, 5, −5 | −5), que entre 5 es (0, 1, −1 | −1). Restando 3 veces esta a la anterior: (0, 0, −2 | −6). z = 3, y = 2, x = 1.Pivot F2 = (1, −1, 2 | 5). F1 − 2F2 gives (0, 3, −5 | −9). F3 − 3F2 gives (0, 5, −5 | −5), which divided by 5 is (0, 1, −1 | −1). Subtracting 3 times this from the previous row: (0, 0, −2 | −6). z = 3, y = 2, x = 1.

b)

F2 − F1 da (1, −2, 2 | −1), con los mismos coeficientes que F3 pero distinto término: 3 ≠ −1. Rg(A) = 2 y Rg(A') = 3. SI.F2 − F1 gives (1, −2, 2 | −1), with the same coefficients as F3 but a different constant: 3 ≠ −1. Rank(A) = 2 and Rank(A') = 3. SI.

RúbricaRubric0 / 2.5

Ejercicio 2Exercise 2

2,5 puntos2.5 points
A =102011114B =5311
  1. a)(1,5 puntos) Calcula A−1.(1.5 points) Compute A−1.
  2. b)(1 punto) Resuelve A·X = B usando A−1.(1 point) Solve A·X = B using A−1.
Solución y correcciónSolution and marking
a)
|A| = 1,A−1 =32−212−1−1−11
b)

X = A−1·B = (15 + 6 − 22, 5 + 6 − 11, −5 − 3 + 11) = (−1, 0, 3).X = A−1·B = (15 + 6 − 22, 5 + 6 − 11, −5 − 3 + 11) = (−1, 0, 3).

RúbricaRubric0 / 2.5

Ejercicio 3Exercise 3

2,5 puntos2.5 points
Discute según k y resuelve para k = 0:Discuss in terms of k and solve for k = 0: x + y + kz = 1x + ky + z = 1kx + y + z = 1
Solución y correcciónSolution and marking

|A| = −(k − 1)²(k + 2), que vale 0 para k = 1 y k = −2.|A| = −(k − 1)²(k + 2), which is 0 for k = 1 and k = −2.

Si k ≠ 1 y k ≠ −2: SCD.If k ≠ 1 and k ≠ −2: SCD.

Si k = 1: las tres ecuaciones son la misma, x + y + z = 1. Rg(A) = Rg(A') = 1: SCI con dos parámetros.If k = 1: all three equations are the same, x + y + z = 1. Rank(A) = Rank(A') = 1: SCI with two parameters.

Si k = −2: al sumar las tres ecuaciones sale 0 = 3. Rg(A) = 2 y Rg(A') = 3: SI.If k = −2: adding the three equations gives 0 = 3. Rank(A) = 2 and Rank(A') = 3: SI.

Para k = 0: x + y = 1, x + z = 1, y + z = 1, de donde x = y = z = 1/2.For k = 0: x + y = 1, x + z = 1, y + z = 1, so x = y = z = 1/2.

RúbricaRubric0 / 2.5

Ejercicio 4Exercise 4

2,5 puntos2.5 points

Una papelería vende cuadernos, bolígrafos y gomas. Dos cuadernos, tres bolígrafos y una goma cuestan 14 €. Un cuaderno, dos bolígrafos y dos gomas cuestan 10 €. Tres cuadernos, un bolígrafo y una goma cuestan 10 €. Plantea el sistema y halla el precio de cada artículo.A stationery shop sells notebooks, pens and rubbers. Two notebooks, three pens and one rubber cost €14. One notebook, two pens and two rubbers cost €10. Three notebooks, one pen and one rubber cost €10. Set up the system and find the price of each item.

Solución y correcciónSolution and marking

Con c, b y g: 2c + 3b + g = 14, c + 2b + 2g = 10, 3c + b + g = 10.With n, p and r: 2n + 3p + r = 14, n + 2p + 2r = 10, 3n + p + r = 10.

Pivote en la segunda ecuación. Quedan (0, −1, −3 | −6) y (0, −5, −5 | −20), que entre −5 es (0, 1, 1 | 4). Sumándolas: (0, 0, −2 | −2).Pivot on the second equation. That leaves (0, −1, −3 | −6) and (0, −5, −5 | −20), which divided by −5 is (0, 1, 1 | 4). Adding them: (0, 0, −2 | −2).

Goma 1 €, bolígrafo 3 €, cuaderno 2 €.Rubber €1, pen €3, notebook €2.

RúbricaRubric0 / 2.5
Parte 4Part 4

Corrígete túMark it yourself

La rúbrica es nuestra y orientativa. Las reglas generales de corrección de la PAU están en el recurso de matrices: justifícalo todo, cualquier método correcto vale y las conclusiones se escriben.The rubric is ours and is only a guide. The general PAU marking rules are in the matrices resource: justify everything, any correct method counts, and conclusions must be written down.

Rutina para corregirteSelf-marking routine

  1. Deja de escribir cuando el reloj llegue a 0.Stop writing when the clock reaches 0.
  2. Cambia a un boli de otro color y abre la solución.Switch to a pen of another colour and open the solution.
  3. Marca una línea de la rúbrica solo si tu hoja enseña ese paso.Tick a rubric line only if your paper shows that step.
  4. Dos días después, rehaz solo los apartados que perdiste, sin mirar.Two days later, redo only the parts you lost, without looking.

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Mira el plan, contesta dos preguntas y, si encajamos, pide la llamada. En 30 minutos te digo si te puedo ayudar y cómo, sin rodeos.

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