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Recurso
PAU · Física · 2º BachilleratoPAU · Physics · Year 13

Campo gravitatorio para la PAU de Física: órbitas, Kepler y energías, con ejemplos resueltos y un simulacroThe gravitational field for the PAU Physics exam: orbits, Kepler and energies, with worked examples and a mock exam

El campo gravitatorio en la PAU de Física se reduce a dos cosas: sumar vectores bien y saber qué fórmulas valen en cada órbita. Aquí tienes lo imprescindible, cinco ejemplos resueltos paso a paso, las trampas típicas y un simulacro de 45 minutos con rúbrica.The gravitational field in PAU Physics comes down to two things: adding vectors properly and knowing which formulas hold in each orbit. Here are the must-knows, five worked examples step by step, the usual traps and a 45-minute mock with a rubric.

1Lo imprescindibleThe must-knows 2Ejemplos resueltosWorked examples 3Conviene saberloGood to know 4SimulacroMock exam 5Corrígete túMark it yourself
Parte 1Part 1

Lo imprescindible del campo gravitatorioThe must-knows of the gravitational field

Un campo es una perturbación del espacio: una magnitud definida en cada punto. Lo crea una masa, y otra masa lo nota.A field is a disturbance of space: a quantity defined at every point. One mass creates it, and another mass feels it.

01 · campo y fuerza01 · field and force

Intensidad por un lado, dirección por otroSize on one side, direction on the other

g = (GM/R²)·ur  ·  F = m·g

Lo de delante es la intensidad y ur es la dirección, con módulo 1. El campo depende de quien lo crea. La fuerza depende además de quien lo recibe: dos personas de 100 y 50 kg tienen el mismo g y distinto peso.The part in front is the size and ur is the direction, with magnitude 1. The field depends on what creates it. The force also depends on what feels it: two people of 100 and 50 kg share the same g but have different weights.

02 · superposición02 · superposition

Con varias masas, se suman vectoresWith several masses, add vectors

El campo gravitatorio siempre apunta hacia la masa. El método es siempre el mismo: dibujo, vector unitario, intensidad, suma por componentes.The gravitational field always points towards the mass. The method never changes: sketch, unit vector, size, add by components.

03 · potencial y energía03 · potential and energy

El potencial es un número, y se suma sin vectoresPotential is a number, added without vectors

V = −GM/R  ·  Ep = −GMm/R  ·  W = −ΔEp

R se mide de centro a centro: R = RT + h, no la altura.R is measured centre to centre: R = RT + h, not the height.

04 · Kepler04 · Kepler

Kepler sale de igualar dos fuerzasKepler comes from equating two forces

GMm/R² = m·v²/R  →  v = √(GM/R)  →  R³/T² = GM/4π²

En una elipse, la ley vale cambiando R por el semieje mayor a. Por eso dos órbitas con el mismo período tienen a = R.In an ellipse the law holds with R replaced by the semi-major axis a. So two orbits with the same period have a = R.

05 · qué vale en cada órbita05 · what holds in each orbit

Antes de operar, haz la lista de lo que sabes de esa órbitaBefore calculating, list what you know about that orbit

ÓrbitaOrbitQué valeWhat holdsEnergía mecánicaMechanical energy
CircularCircularFg = Fc, MCU, Em y L constantesFg = Fc, uniform circular motion, Em and L constantEm = −GMm/2R
ElípticaEllipticalSolo Em y L constantes. En perigeo y apogeo: v1·r1 = v2·r2Only Em and L constant. At perigee and apogee: v1·r1 = v2·r2Em = −GMm/2a
06 · los tres casos de energía06 · the three energy cases

Puesta en órbita, cambio de órbita y escapeLaunch into orbit, changing orbit and escape

  1. Puesta en órbita: ΔE = −GMm/2R0 + GMm/RT, partiendo del reposo en la superficie.Launch into orbit: ΔE = −GMm/2R0 + GMm/RT, starting at rest on the surface.
  2. Cambio de órbita circular: ΔE = ½GMm(1/R1 − 1/R2).Changing circular orbit: ΔE = ½GMm(1/R1 − 1/R2).
  3. Escape: la energía final es 0, así que ve = √(2GM/R).Escape: the final energy is 0, so ve = √(2GM/R).
Parte 2Part 2

Ejemplos resueltosWorked examples

Usa G = 6,67·10−11 N·m²/kg², MT = 5,97·1024 kg y RT = 6,37·106 m. Intenta cada uno antes de abrir la solución.Use G = 6.67·10−11 N·m²/kg², MT = 5.97·1024 kg and RT = 6.37·106 m. Try each one before you open the solution.

Ejemplo 1: dos masas iguales y un campo dadoExample 1: two equal masses and a given field

Dos masas iguales m están en (0, 3) y (0, −3) m. Halla m para que el campo en P(4, 0) sea g = −2·10−9 i m/s².Two equal masses m sit at (0, 3) and (0, −3) m. Find m so that the field at P(4, 0) is g = −2·10−9 i m/s².

Ver la soluciónSee the solution
  1. Escribe el dato como vector: g = (−2·10−9, 0).Write the data as a vector: g = (−2·10−9, 0).
  2. Distancias: R = 5 m en los dos casos, luego R² = 25.Distances: R = 5 m for both, so R² = 25.
  3. Unitarios, de P hacia cada masa: u1 = (−4/5, 3/5) y u2 = (−4/5, −3/5). Tienen módulo 1.Unit vectors, from P towards each mass: u1 = (−4/5, 3/5) and u2 = (−4/5, −3/5). Their magnitude is 1.
  4. Suma: las y se anulan por simetría y queda g = (−2·(Gm/25)·(4/5), 0).Add: the y parts cancel by symmetry, leaving g = (−2·(Gm/25)·(4/5), 0).
  5. Iguala componentes: 2·(Gm/25)·(4/5) = 2·10−9.Equate components: 2·(Gm/25)·(4/5) = 2·10−9.

m ≈ 4,7·10² kg.m ≈ 4.7·10² kg.

Ejemplo 2: el punto donde el campo se anulaExample 2: the point where the field vanishes

Una masa de 9 kg está en el origen y otra de 1 kg en (8, 6) m. Halla el punto entre ambas donde g = 0.A 9 kg mass sits at the origin and a 1 kg mass at (8, 6) m. Find the point between them where g = 0.

Ver la soluciónSee the solution
  1. La distancia entre masas es 10 m. El punto está en la recta que las une, a una distancia d de la de 9 kg.The distance between the masses is 10 m. The point lies on the line joining them, at distance d from the 9 kg mass.
  2. Los dos campos son opuestos, así que basta igualar módulos: G·9/d² = G·1/(10 − d)². La G se va.The two fields are opposite, so equal sizes is enough: G·9/d² = G·1/(10 − d)². G cancels.
  3. Raíz: d/(10 − d) = 3, luego d = 7,5 m.Square root: d/(10 − d) = 3, so d = 7.5 m.
  4. Avanza 7,5 m en la dirección (8, 6)/10 = (0,8; 0,6).Move 7.5 m along the direction (8, 6)/10 = (0.8, 0.6).

P = (6; 4,5) m. Está más cerca de la masa pequeña, como tiene que ser.P = (6, 4.5) m. It is closer to the small mass, as it must be.

Ejemplo 3: órbita circularExample 3: circular orbit

Un satélite orbita a 600 km de altura. Halla su velocidad, su período y g a esa altura.A satellite orbits at a height of 600 km. Find its speed, its period and g at that height.

Ver la soluciónSee the solution
  1. Centro a centro: R = 6,37·106 + 6·105 = 6,97·106 m.Centre to centre: R = 6.37·106 + 6·105 = 6.97·106 m.
  2. v = √(GM/R) ≈ 7,56·10³ m/s.v = √(GM/R) ≈ 7.56·10³ m/s.
  3. T = 2πR/v ≈ 5,79·10³ s, algo más de hora y media.T = 2πR/v ≈ 5.79·10³ s, a little over an hour and a half.
  4. g = GM/R² ≈ 8,20 m/s².g = GM/R² ≈ 8.20 m/s².

A 600 km hay gravedad de sobra. Un satélite no flota porque no haya g: flota porque cae todo el rato.At 600 km there is plenty of gravity. A satellite does not float because g is missing: it floats because it is falling all the time.

Ejemplo 4: órbita elípticaExample 4: elliptical orbit

Un satélite de 1000 kg tarda 21 600 s en ir de perigeo a apogeo. Su distancia al centro de la Tierra en el perigeo es 8,0·106 m. Halla el semieje mayor, la distancia en el apogeo, la energía mecánica y las velocidades en los dos puntos.A 1000 kg satellite takes 21,600 s to go from perigee to apogee. Its distance from the Earth's centre at perigee is 8.0·106 m. Find the semi-major axis, the apogee distance, the mechanical energy and the speeds at both points.

Ver la soluciónSee the solution
  1. De perigeo a apogeo es media órbita: T = 43 200 s.Perigee to apogee is half an orbit: T = 43,200 s.
  2. Kepler con a en lugar de R: a = ∛(GMT²/4π²) ≈ 2,66·107 m.Kepler with a in place of R: a = ∛(GMT²/4π²) ≈ 2.66·107 m.
  3. ra + rp = 2a, luego ra ≈ 4,52·107 m.ra + rp = 2a, so ra ≈ 4.52·107 m.
  4. Em = −GMm/2a ≈ −7,48·109 J.Em = −GMm/2a ≈ −7.48·109 J.
  5. Con esa energía en el perigeo: Em = −GMm/rp + ½mvp², de donde vp ≈ 9,20·10³ m/s.Using that energy at perigee: Em = −GMm/rp + ½mvp², so vp ≈ 9.20·10³ m/s.
  6. Momento angular: vp·rp = va·ra, la masa se cancela y va ≈ 1,63·10³ m/s.Angular momentum: vp·rp = va·ra, the mass cancels and va ≈ 1.63·10³ m/s.

Ejemplo 5: los tres casos de energíaExample 5: the three energy cases

Un satélite de 500 kg se pone en órbita circular a 2000 km de altura y luego sube a 10 000 km. ¿Cuánta energía hace falta en cada paso, y cuánta para escapar desde la primera órbita?A 500 kg satellite is placed in a circular orbit at 2000 km height, then raised to 10,000 km. How much energy does each step need, and how much to escape from the first orbit?

Ver la soluciónSee the solution
  1. Radios: R1 = 8,37·106 m y R2 = 1,637·107 m.Radii: R1 = 8.37·106 m and R2 = 1.637·107 m.
  2. Puesta en órbita: Ei ≈ −3,13·1010 J y Ef ≈ −1,19·1010 J, luego ΔE ≈ 1,94·1010 J.Launch: Ei ≈ −3.13·1010 J and Ef ≈ −1.19·1010 J, so ΔE ≈ 1.94·1010 J.
  3. Cambio de órbita: ΔE = ½GMm(1/R1 − 1/R2) ≈ 5,81·109 J.Orbit change: ΔE = ½GMm(1/R1 − 1/R2) ≈ 5.81·109 J.
  4. Escape desde la primera órbita: hay que llevar Em a 0, así que hacen falta 1,19·1010 J.Escape from the first orbit: Em must reach 0, so 1.19·1010 J are needed.

Conviene saberlo: lo que más puntos cuestaGood to know: what costs the most marks

  • Usar la altura en vez del radio. En todas las fórmulas, R va de centro a centro.Using height instead of radius. In every formula, R goes centre to centre.
  • No normalizar el vector. (−4, 3) no es un unitario. Hay que dividir entre su módulo, o la intensidad sale mal.Not normalising the vector. (−4, 3) is not a unit vector. Divide by its magnitude, or the size comes out wrong.
  • Olvidar el signo de g. El campo apunta hacia la masa, no hacia fuera.Forgetting the sign of g. The field points towards the mass, not outwards.
  • Usar v = √(GM/R) en una elipse. En una elíptica solo tienes Em y L constantes.Using v = √(GM/R) in an ellipse. In an elliptical orbit you only have constant Em and L.
  • El orden del producto vectorial. L = r × p = m(r × v). Si cambias el orden, cambia el signo. Al usar solo el módulo no se nota: |L| = m·v·r·sen θ.The order of the cross product. L = r × p = m(r × v). Swap the order and the sign flips. With the magnitude alone you will not notice: |L| = m·v·r·sin θ.
  • Mezclar unidades. Pasa los km a m antes de sustituir nada.Mixing units. Convert km to m before substituting anything.
Parte 3Part 3

Simulacro de campo gravitatorioGravitational field mock exam

Tres ejercicios, 45 minutos, con calculadora. Son ejercicios propios del tipo de los que salen, no enunciados de un examen real. Usa los datos de los ejemplos.Three exercises, 45 minutes, with a calculator. These are our own exercises of the usual type, not questions from a real exam. Use the data from the examples.

45:00
NotaScore 0,0 / 10

Ejercicio 1Exercise 1

4 puntos4 points

Una masa de 6·106 kg está en (0, 4) m y otra de 8·106 kg en (3, 0) m.A 6·106 kg mass sits at (0, 4) m and an 8·106 kg mass at (3, 0) m.

  1. a)(1,5 puntos) Calcula el vector g en el origen y su módulo.(1.5 points) Find the vector g at the origin and its magnitude.
  2. b)(1,2 puntos) Calcula el potencial en el origen.(1.2 points) Find the potential at the origin.
  3. c)(1,3 puntos) Halla el trabajo del campo al llevar una masa de 2 kg del origen al infinito. Interpreta el signo.(1.3 points) Find the work done by the field in taking a 2 kg mass from the origin to infinity. Interpret the sign.
Solución y correcciónSolution and marking
a)

g = (G·8·106/9, G·6·106/16) ≈ (5,93·10−5, 2,50·10−5) m/s². Módulo ≈ 6,43·10−5 m/s².g = (G·8·106/9, G·6·106/16) ≈ (5.93·10−5, 2.50·10−5) m/s². Magnitude ≈ 6.43·10−5 m/s².

b)

V = −G(6·106/4 + 8·106/3) ≈ −2,78·10−4 J/kg.V = −G(6·106/4 + 8·106/3) ≈ −2.78·10−4 J/kg.

c)

W = −ΔEp = −(0 − m·V) = m·V ≈ −5,56·10−4 J. Es negativo: el campo se opone y hay que aportar esa energía desde fuera.W = −ΔEp = −(0 − m·V) = m·V ≈ −5.56·10−4 J. It is negative: the field opposes the move and that energy must come from outside.

RúbricaRubric0 / 4

Ejercicio 2Exercise 2

3 puntos3 points

Un satélite de 800 kg da una vuelta circular a la Tierra cada 6 horas.An 800 kg satellite makes a circular orbit of the Earth every 6 hours.

  1. a)(1,5 puntos) Calcula el radio de la órbita, la altura y la velocidad.(1.5 points) Find the orbit radius, the height and the speed.
  2. b)(1,5 puntos) Calcula su energía mecánica y la energía necesaria para duplicar el radio.(1.5 points) Find its mechanical energy and the energy needed to double the radius.
Solución y correcciónSolution and marking
a)

T = 21 600 s. R = ∛(GMT²/4π²) ≈ 1,68·107 m. h = R − RT ≈ 1,04·107 m. v = √(GM/R) ≈ 4,87·10³ m/s.T = 21,600 s. R = ∛(GMT²/4π²) ≈ 1.68·107 m. h = R − RT ≈ 1.04·107 m. v = √(GM/R) ≈ 4.87·10³ m/s.

b)

Em = −GMm/2R ≈ −9,50·109 J. Con radio doble, la energía es la mitad: ΔE ≈ 4,75·109 J.Em = −GMm/2R ≈ −9.50·109 J. With double the radius the energy halves: ΔE ≈ 4.75·109 J.

RúbricaRubric0 / 3

Ejercicio 3Exercise 3

3 puntos3 points

En la Tierra (g = 10 m/s²), una masa de 2 kg alarga un muelle 4 cm. En un planeta de radio 3000 km, la misma masa alarga el mismo muelle 1,5 cm.On Earth (g = 10 m/s²), a 2 kg mass stretches a spring by 4 cm. On a planet of radius 3000 km, the same mass stretches the same spring by 1.5 cm.

  1. a)(1 punto) Halla la constante del muelle.(1 point) Find the spring constant.
  2. b)(1 punto) Halla g en el planeta y su masa.(1 point) Find g on the planet and its mass.
  3. c)(1 punto) Halla la velocidad de escape del planeta.(1 point) Find the planet's escape velocity.
Solución y correcciónSolution and marking
a)

Equilibrio: m·g = k·x, luego k = 2·10/0,04 = 500 N/m.Equilibrium: m·g = k·x, so k = 2·10/0.04 = 500 N/m.

b)

g = k·x/m = 500·0,015/2 = 3,75 m/s². De g = GM/R²: M = g·R²/G ≈ 5,06·1023 kg.g = k·x/m = 500·0.015/2 = 3.75 m/s². From g = GM/R²: M = g·R²/G ≈ 5.06·1023 kg.

c)

ve = √(2GM/R) = √(2gR) ≈ 4,74·10³ m/s.ve = √(2GM/R) = √(2gR) ≈ 4.74·10³ m/s.

RúbricaRubric0 / 3
Parte 4Part 4

Corrígete túMark it yourself

La rúbrica es nuestra y orientativa: no son los criterios oficiales de la PAU.The rubric is ours and is only a guide: these are not the official PAU criteria.

Rutina para corregirteSelf-marking routine

  1. Deja de escribir cuando el reloj llegue a 0.Stop writing when the clock reaches 0.
  2. Cambia a un boli de otro color y abre la solución.Switch to a pen of another colour and open the solution.
  3. Marca una línea de la rúbrica solo si tu hoja enseña ese paso.Tick a rubric line only if your paper shows that step.
  4. Dos días después, rehaz solo los apartados que perdiste, sin mirar.Two days later, redo only the parts you lost, without looking.

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