01 · combinación lineal01 · linear combination
Todo se construye sobre dos operaciones: multiplicar por un número y sumarEverything is built on two operations: multiplying by a number and adding
α·u + β·v
Multiplicar un vector por 2, o por 3500, ya es una combinación lineal. Sumar dos vectores, también. Nunca se multiplican vectores entre sí. Cada regla de este tema, de la definición de subespacio a la de rango, es una forma de preguntar si algo se consigue combinando linealmente otras cosas.Multiplying a vector by 2, or by 3500, is already a linear combination. Adding two vectors is too. Vectors are never multiplied by each other. Every rule in this topic, from the definition of a subspace to that of rank, is a way of asking whether something can be obtained by linearly combining other things.
02 · qué es un vector02 · what a vector is
Vector es cualquier cosa que se suma y se multiplica por númerosA vector is anything you can add and multiply by numbers
Un polinomio es un vector: 3t² + 2t + 2 es (2, 2, 3) si ordenas los coeficientes por grado, y el que falta vale 0. Una matriz también, columna a columna. Una suma de una parábola y una recta con pesos 0,3 y 0,7 es una combinación lineal igual que con flechas. Si un ejercicio te da polinomios, pásalos a vectores de coeficientes y haz lo de siempre.A polynomial is a vector: 3t² + 2t + 2 is (2, 2, 3) if you order the coefficients by degree, and a missing one is 0. A matrix is too, column by column. A sum of a parabola and a line with weights 0.3 and 0.7 is a linear combination just like with arrows. If an exercise gives you polynomials, turn them into coefficient vectors and do the usual.
03 · dimensión03 · dimension
Dimensión es en cuántas direcciones independientes te puedes moverDimension is how many independent directions you can move in
Un tren sobre su vía tiene una dimensión: adelante o atrás. Un coche, dos. Un avión, tres. Vivimos en R³ y los tres tienen coordenadas x, y, z, pero el tren solo usa una. Esa es la diferencia entre la dimensión del espacio y la del subespacio por el que te mueves. Cualquier dirección nueva que sea combinación lineal de las que ya tienes no añade dimensión: el coche que va en diagonal sigue en dos.A train on its track has one dimension: forwards or backwards. A car, two. A plane, three. We live in R³ and all three have x, y, z coordinates, but the train only uses one. That is the difference between the dimension of the space and that of the subspace you move through. Any new direction that is a linear combination of the ones you have adds no dimension: a car going diagonally is still in two.
04 · subespacio04 · subspace
Un subespacio cumple las mismas reglas que el espacio, y cabe dentroA subspace follows the same rules as the space, and fits inside
Combina dos vectores de un subespacio y sigues dentro: dos Mercedes combinados siguen siendo Mercedes. Por eso las tres condiciones de los apuntes (contiene el 0, cerrado para la suma, cerrado para el producto por escalar) son una sola: es cerrado para combinaciones lineales. Las ecuaciones que lo definen son lineales (nada al cuadrado) y homogéneas (con el 0 se cumplen): un subespacio de rango 2 metido en R³ siempre pasa por el origen. Una recta desplazada, y = 2x + 1, no es subespacio: no contiene el 0.Combine two vectors of a subspace and you stay inside: two Mercedes combined are still a Mercedes. That is why the three conditions in your notes (contains 0, closed under addition, closed under scalar multiplication) are a single one: it is closed under linear combinations. The equations that define it are linear (nothing squared) and homogeneous (0 satisfies them): a rank-2 subspace sitting in R³ always passes through the origin. A shifted line, y = 2x + 1, is not a subspace: it does not contain 0.
05 · paramétricas e implícitas05 · parametric and implicit equations
Las paramétricas dicen por dónde puedes ir; las implícitas, por dónde noParametric equations say where you can go; implicit ones, where you cannot
n.º de parámetros + n.º de implícitas = dimensión del espacionumber of parameters + number of implicit equations = dimension of the space · dim S + dim S⊥ = n
La vía del tren sobre el eje y es x = 0, y = λ, z = 0: un parámetro, la λ con la que avanzas. Sus implícitas son x = 0 y z = 0: las dos direcciones prohibidas. Uno más dos son las tres dimensiones de R³. El plano perpendicular a la vía, y = 0, es el subespacio ortogonal: tiene dimensión 2 y con la vía llena el espacio. Por eso en bachillerato una recta tenía dos implícitas y un plano una sola. Pasar de paramétricas a implícitas es eliminar los parámetros; pasar de implícitas a paramétricas es dar valores a una letra y despejar las demás, como en un sistema compatible indeterminado. Y las restricciones se acumulan: en R³ una implícita deja un plano, dos independientes dejan una recta y tres dejan un punto, que tiene dimensión cero. Si no puedes ir ni adelante, ni a los lados, ni arriba, te quedas donde estás. Por eso la intersección de una recta y un plano es un punto: entre los dos suman tres restricciones.The train track along the y axis is x = 0, y = λ, z = 0: one parameter, the λ you move along. Its implicit equations are x = 0 and z = 0: the two forbidden directions. One plus two are the three dimensions of R³. The plane perpendicular to the track, y = 0, is the orthogonal subspace: it has dimension 2 and together with the track it fills the space. That is why at school a line had two implicit equations and a plane only one. Going from parametric to implicit means eliminating the parameters; going from implicit to parametric means giving values to one letter and solving for the rest, as in an indeterminate system. And restrictions add up: in R³ one implicit equation leaves a plane, two independent ones leave a line and three leave a point, which has dimension zero. If you cannot go forwards, sideways or up, you stay where you are. That is why a line and a plane meet at a point: between them they add up to three restrictions.
06 · la matriz es una transformación06 · the matrix is a transformation
Las columnas de la matriz son el destino de los ejesThe columns of the matrix are where the axes end up
A · (origenorigin) = (destinodestination) · A·e1 = primera columnafirst column · A·e2 = segunda columnasecond column
Multiplica la matriz por el vector (1, 0) y sale la primera columna; por (0, 1) y sale la segunda. Es decir: la matriz te dice dónde acaba cada eje, y con eso sabe dónde acaba cualquier vector, porque A·u es la combinación lineal de las columnas con los pesos de u. La identidad deja todo igual, como multiplicar por 1. Cambia una columna y la figura se estira, se tuerce o se refleja. El número de filas es la dimensión del espacio de destino; el de columnas, la del espacio de origen. Una matriz 2×3 va de R³ a R². Cuadrada significa que no cambias de dimensión.Multiply the matrix by the vector (1, 0) and you get the first column; by (0, 1) and you get the second. In other words: the matrix tells you where each axis ends up, and with that it knows where any vector ends up, because A·u is the linear combination of the columns with the weights of u. The identity leaves everything as it is, like multiplying by 1. Change one column and the shape stretches, tilts or flips. The number of rows is the dimension of the target space; the number of columns, that of the source space. A 2×3 matrix goes from R³ to R². Square means you do not change dimension.
07 · rango, imagen y núcleo07 · rank, image and kernel
El rango es la dimensión de la transformación; lo que se aplasta es el núcleoThe rank is the dimension of the transformation; what gets squashed is the kernel
dim Im + dim Ker = dim (origenorigin) · dim Im = rango A
Si una matriz 2×2 tiene rango 1, sus dos columnas apuntan en la misma dirección y todo el plano acaba en una recta: has comprimido una dimensión. Los vectores que caen en la dirección aplastada acaban en el 0: eso es el núcleo, y se calcula imponiendo A·v = 0. Si el rango es completo no se aplasta nada y el núcleo es solo el 0. Una fila de ceros al reducir por Gauss te avisa de que el rango es menor que la dimensión.If a 2×2 matrix has rank 1, its two columns point the same way and the whole plane lands on a line: you have squeezed out one dimension. The vectors lying along the squashed direction end up at 0: that is the kernel, and you find it by imposing A·v = 0. If the rank is full nothing is squashed and the kernel is only 0. A row of zeros after Gaussian reduction warns you that the rank is smaller than the dimension.
09 · cambio de base09 · change of basis
Un cambio de base no mueve el vector: cambia desde dónde lo mirasA change of basis does not move the vector: it changes where you look from
v = a·b1 + b·b2 + c·b3 → P·vB = vC · vB = P−1·vC
Llamar (2, 3, 5) a un vector es decir que vale 2·(1, 0, 0) + 3·(0, 1, 0) + 5·(0, 0, 1): sus coordenadas son los pesos en la base canónica. Con otra base cambian los pesos, no el vector. Para encontrarlos no hace falta recordar nada: escribe la combinación lineal, iguálala al vector y resuelve el sistema. Su forma matricial es P·vB = vC, donde las columnas de P son los vectores de la nueva base escritos en la canónica: P convierte coordenadas en B en coordenadas usuales, y P−1 hace el viaje contrario. En R² el vector (2, 1) en la base {(2, 1), (−1, 1)} es (1, 0): la misma flecha, otro nombre. No lo confundas con una aplicación lineal, que sí mueve el vector. Cuando una aplicación se escribe en otras bases se juntan las dos cosas; eso está en el recurso de aplicaciones lineales.Calling a vector (2, 3, 5) means saying it equals 2·(1, 0, 0) + 3·(0, 1, 0) + 5·(0, 0, 1): its coordinates are the weights in the standard basis. With another basis the weights change, not the vector. To find them you need to remember nothing: write the linear combination, set it equal to the vector and solve the system. Its matrix form is P·vB = vC, where the columns of P are the vectors of the new basis written in the standard one: P turns coordinates in B into usual coordinates, and P−1 makes the return trip. In R² the vector (2, 1) in the basis {(2, 1), (−1, 1)} is (1, 0): the same arrow, another name. Do not confuse it with a linear map, which does move the vector. When a map is written in other bases both things come together; that is in the linear maps resource.
08 · los sistemas de bachillerato08 · the systems from school
A·X = B es ir del origen X al destino B; la inversa deshace el viajeA·X = B is going from the origin X to the destination B; the inverse undoes the trip
Un sistema de ecuaciones es una ecuación matricial concreta: conoces el destino B y buscas de dónde venía. X = A−1·B es volver, de Barcelona a Gijón. Y el teorema de Rouché-Frobenius, dicho con dimensiones: si rango A = rango A' = n.º de incógnitas, la transformación llena el espacio y el núcleo es 0, SCD. Si rango A = rango A' pero menor que n, la transformación es de menos dimensión que el espacio y el núcleo tiene tantas dimensiones como parámetros te salían, SCI. Si rango A' es mayor que rango A, intentas meter algo de más dimensión en algo de menos: no cabe, SI.A system of equations is one specific matrix equation: you know the destination B and want to know where it came from. X = A−1·B is the return trip. And the Rouché-Frobenius theorem, said with dimensions: if rank A = rank A' = number of unknowns, the transformation fills the space and the kernel is 0, a unique solution. If rank A = rank A' but smaller than n, the transformation has fewer dimensions than the space and the kernel has as many dimensions as parameters you used to get, infinitely many solutions. If rank A' is bigger than rank A, you are trying to fit something of higher dimension into something of lower dimension: it does not fit, no solution.
