Leyes de conservación en Mecánica de Fluidos: cada término de las ecuaciones integrales y cuándo vale cero

Volumen de control

Todo el agua del depósito. Su frontera tiene tres partes: la superficie libre, que sube o baja con el líquido (v = v_c, no cruza nada), la entrada y el orificio. Como la superficie se mueve, el volumen de control es deformable.

Masa

$$\frac{d}{dt}{\int }_{V_c}\rho dV+{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_c}\rho (\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_c)\cdot \overrightarrow{n}d\sigma =0\Rightarrow \rho A_t\frac{dh}{dt}-\rho Q_e+\rho Q_s=0$$

Con ρ constante queda el balance de volúmenes: $A_t{\displaystyle \frac{dh}{dt}}=Q_e-Q_s$. Aquí la acumulación no vale cero hasta que el nivel se detiene.

Energía entre la superficie libre y el orificio

Casi estacionaria (la superficie baja despacio), fluido ideal, sin calor, presión atmosférica en los dos puntos: la energía por kilo se conserva y solo cambia la altura por velocidad.

$$gh=\frac{1}{2}{v}_s^2\Rightarrow v_s=\sqrt{2gh}\text{(Torricelli)}$$

Resultado

$$A_t\frac{dh}{dt}=Q_e-A_o\sqrt{2gh}{h}_{eq}=\frac{1}{2g}{\left(\frac{Q_e}{A_o}\right)}^2$$

La del equilibrio sale de pedir dh/dt = 0. Es la misma ecuación de masa con el término de acumulación tachado.

Así se hace en clase, y así conviene hacerlo en el examen: la ecuación completa, y cada término tachado diciendo por qué. El 80 % del problema es este paso. Un término que sobra te deja una ecuación que no se puede resolver; uno que falta te deja una que sale mal. Datos: agua, ρ constante; el depósito no se mueve; el agua entra por arriba por una sección A_e a velocidad v_e y sale por el orificio de sección A_s a v_s; atmósfera alrededor; paredes a la temperatura del agua; nada se quema. La normal n apunta hacia fuera en todas las superficies.

Masa

$$\frac{d}{dt}{\int }_{V_c}\rho dV+{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_c}\rho (\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_c)\cdot \overrightarrow{n}d\sigma =0$$

ρ no cambia: sale de la derivada y de la integral. El convectivo solo vale en las superficies que el agua atraviesa, la entrada y la salida. En las paredes v = 0 y en la superficie libre el agua va con la superficie, v = v_c. Queda v_e·n negativo, porque entra, y v_s·n positivo.

$$\rho \frac{dV}{dt}-\rho v_e{A}_e+\rho v_s{A}_s=0$$

Cantidad de movimiento

$$\frac{d}{dt}{\int }_{V_c}\rho \overrightarrow{v}dV+{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_c}\rho \overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_c)\cdot \overrightarrow{n}d\sigma =-{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_c}(p-p_a)\overrightarrow{n}d\sigma +{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_c}{\overline{\overline{\tau }}}^{\prime }\cdot \overrightarrow{n}d\sigma +{\int }_{V_c}\rho \overrightarrow{g}dV$$

Término a término:

1. Acumulación. No se tacha. Cuidado con una trampa: v_c, la velocidad del contorno, es cero en las paredes, pero v dentro del volumen no lo es, porque el agua sube. Son dos velocidades distintas.
2. Convectivo. Solo en la entrada y en la salida, por la misma razón que en la masa. Es la fuerza que entra con el chorro y la que se va con él.
3. Presión. Escríbela como p − p_a desde el principio: la atmósfera aprieta por los dos lados de cualquier superficie abierta y se cancela sola. En la entrada, en la salida y en la superficie libre p = p_a, y esos trozos valen cero. Solo sobrevive la pared del depósito, donde la presión es mayor que la atmosférica porque el agua pesa.
4. Viscosidad. Fuera. La fricción solo trabaja donde el agua se mueve pegada a una pared larga, y aquí en las paredes la velocidad es cero. Lo que pase en la tubería de salida es de otro volumen de control.
5. Fuerzas másicas. El peso. En agua no se quita nunca: es justo lo que crea la presión en la pared.

$$\rho \frac{d}{dt}{\int }_{V_c}\overrightarrow{v}dV+\rho {\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_e}\overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})d\sigma +\rho {\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_s}\overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})d\sigma =-{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_{pared}}(p-p_a)\overrightarrow{n}d\sigma +\rho {\int }_{V_c}\overrightarrow{g}dV$$

Léela: fuerza que entra, fuerza que sale, fuerza de la presión sobre la pared y peso. Es la segunda ley de Newton para el agua del depósito, y no se puede personalizar más. Lo siguiente ya es sustituir.

Energía

$$\frac{d}{dt}{\int }_{V_c}\rho (e+\frac{1}{2}{v}^2)dV+{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_c}\rho (e+\frac{1}{2}{v}^2)(\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_c)\cdot \overrightarrow{n}d\sigma =-{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_c}(p-p_a)\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}d\sigma +{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_c}\overrightarrow{v}\cdot {\overline{\overline{\tau }}}^{\prime }\cdot \overrightarrow{n}d\sigma +{\int }_{V_c}\rho \overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{v}dV-{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_c}\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{n}d\sigma +{\int }_{V_c}{Q}_{r}dV$$

1. Acumulación y convectivo. Igual que antes: ρ fuera, el convectivo solo en la entrada y en la salida.
2. Trabajo de la presión. Fuera entero, y este es el tachón que más se falla. En la única superficie donde p ≠ p_a, la pared, la velocidad es cero, y el término lleva v·n. Una fuerza sobre algo que no se mueve no trabaja. Por eso la presión de la pared está en la ecuación de la cantidad de movimiento y no en la de la energía.
3. Trabajo viscoso. Fuera, por lo mismo que la fuerza viscosa.
4. Trabajo del peso. Se queda: dentro del depósito el agua sube, así que g·v no es cero. Es la energía potencial que va ganando.
5. Calor. Paredes a la temperatura del agua, sin conducción; nada se quema, sin calor volumétrico. Fuera los dos.

$$\rho \frac{d}{dt}{\int }_{V_c}(e+\frac{1}{2}{v}^2)dV+\rho {\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_e}(e+\frac{1}{2}{v}_e^2)\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}d\sigma +\rho {\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_s}(e+\frac{1}{2}{v}_s^2)\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}d\sigma =\rho {\int }_{V_c}\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{v}dV$$

Hipótesis

Gas compresible, volumen de control que sigue al pistón, así que v_c = v en esa cara. La pared lateral es de corriente. Por la salida pasa un chorro uniforme.

Masa

$$\frac{d}{dt}\left(\rho \frac{\pi D^2}{4}h\right)+{\rho }_1{v}_1{A}_1=0$$

Se desarrolla la derivada del producto, con $dh/dt=-V_e$ (el pistón avanza hacia la salida):

$$h\frac{d\rho }{dt}+\rho \frac{dh}{dt}=-{\rho }_1{v}_1{A}_1\frac{4}{\pi D^2}\Rightarrow \frac{d\rho }{dt}=\frac{1}{h}[-{\rho }_1{v}_1{A}_1\frac{4}{\pi D^2}+\rho V_e]$$

Números

$$\frac{d\rho }{dt}=\frac{1}{0,3}[-7,2\cdot {10}^{-3}\frac{4}{\pi 0,{12}^2}+1,2\cdot 0,8]=1,08\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3\text{s}}$$

Cuidado de no confundir gasto (kg/s, ρvA) con caudal (m³/s, vA).

Volumen de control y normales

Envuelve el fluido del conducto. Tres superficies: entrada Σ₁ con n₁ = −i, salida Σ₂ con n₂ saliendo, y la lateral, que es pared. Con la salida girada un ángulo θ, ${\overrightarrow{n}}_2=(\cos \theta ,-\sin \theta )$.

Continuidad

$$-{\rho }_1{v}_1{A}_1+{\rho }_2{v}_2{A}_2=0,\rho =\frac{p}{R_{g}T}\Rightarrow v_2=\frac{p_1{v}_1{A}_1{T}_2}{T_1{A}_2{p}_2}=184,8\text{m/s}$$

Cantidad de movimiento

Se tacha: acumulación (estacionario), viscoso (uniforme y tensor reducido a presión), másica (despreciable). Para quitar la atmósfera se escribe $-\int (p-p_a)\overrightarrow{n}d\sigma$. Lo que queda en la pared lateral es la fuerza $\overrightarrow{F}$ del fluido sobre el conducto, con signo menos.

$$-{\rho }_1{v}_1^2{A}_1\overrightarrow{ı}+{\rho }_2{v}_2^2{A}_2{\overrightarrow{n}}_2=(p_1-p_a)A_1\overrightarrow{ı}-(p_2-p_a)A_2{\overrightarrow{n}}_2-\overrightarrow{F}$$ $$\boxed{{\displaystyle \overrightarrow{F}=[(p_1-p_a)+{\rho }_1{v}_1^2]A_1\overrightarrow{ı}-[(p_2-p_a)+{\rho }_2{v}_2^2]A_2{\overrightarrow{n}}_2}}$$

Números

Con ρ₁ = 1,282 kg/m³ y ρ₂ = 0,555 kg/m³. Recto: F = 117,60 + 24,61 − (−88,20 + 113,71) = 116,70 N. Codo de 90°: F_x = 117,60 + 24,61 = 142,21 N y F_y = −88,20 + 113,71 = 25,51 N.

Un problema de fluidos tiene tres capas. La intuitiva: el gas se comprime contra el conducto como el agua de un río contra un objeto, las componentes hacia fuera se anulan por simetría y queda una fuerza neta hacia la salida. La física: las condiciones de contorno, lo que vale cero y por qué. Y la matemática: personalizar cada integral letra a letra. Cuando las dos primeras están claras, el atasco está siempre en la tercera. La intuición no resuelve nada: sirve para comprobar el signo del resultado.

Las integrales, letra a letra

Nombra las superficies antes de integrar: Σ₁ entrada, Σ₂ salida, Σ₃ pared. En Σ₃ no hay velocidad, así que el convectivo solo vive en Σ₁ y Σ₂. El producto escalar se separa en módulos y coseno: en la entrada v y n apuntan en sentidos contrarios, cos 180° = −1, y como n es unitario queda −v₁; en la salida, +v₂. En la cantidad de movimiento aparece v(v·n): el escalar da el signo y el vector de fuera la dirección, así que la entrada aporta −ρ₁v₁²A₁ i y la salida +ρ₂v₂²A₂ n₂. Un v² nunca es negativo; el signo lo pone n.

$${\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}\rho \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}d\sigma ={\rho }_1|{\overrightarrow{v}}_1||{\overrightarrow{n}}_1|\cos {180}^{\circ }{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}d\sigma =-{\rho }_1{v}_1{A}_1$$

Una fuerza que no está en la ecuación

La ecuación de la cantidad de movimiento es F = m·a para el fluido, y trae las fuerzas de presión, viscosas y másicas. No trae la fuerza que la pared hace sobre el fluido, porque la pared no es fluido. Hay que añadirla a mano: si el gas empuja el conducto con F, el conducto empuja al gas con −F, tercera ley de Newton. Es lo que aparece con signo menos en la ecuación de arriba. El rozamiento con la pared no es esto: es viscosidad, y se ha tachado.

El recuento antes de la energía

Antes de escribir la tercera ecuación, cuenta. Incógnitas: v₂ y F. Ecuaciones: continuidad y cantidad de movimiento. Dos y dos: la energía no hace falta. Y aquí además no aportaría nada: sin reacción, sin conducción, sin radiación, sin peso y sin viscosidad, lo que queda es el trabajo de la presión y el convectivo de ½v², que son combinación de las otras dos. La energía entra en juego cuando hay calor, trabajo de una máquina o fricción que se convierte en calor.

La densidad de un gas

En un gas la densidad no es un dato, sale de la presión y la temperatura. La ecuación de estado se usa así, con la constante del gas por unidad de masa:

$$\rho =\frac{p}{R_{g}T}{R}_g^{aire}=287\frac{\text{J}}{\text{kg·K}}$$

Presión en pascales, 1 atm = 101 325 Pa, y temperatura en kelvin. Con 8,31 J/(mol·K) sale una densidad absurda: es la misma ley, pero por mol, y pide la masa molar. Haz el análisis dimensional cuando dudes de una constante. Para agua no se usa: la densidad es constante.

Números, de principio a fin

Otro juego de datos, para que lo rehagas: v₁ = 50 m/s, A₁ = 3 dm², A₂ = 1,5 dm², p₁ = 1,4 atm, p₂ = p_a = 1 atm, T₁ = 15 °C, T₂ = 200 °C, conducto recto.

1. Unidades: A₁ = 0,03 m², A₂ = 0,015 m², p₁ = 141 855 Pa, T₁ = 288 K, T₂ = 473 K.
2. Densidades: ρ₁ = 141 855/(287·288) = 1,716 kg/m³; ρ₂ = 101 325/(287·473) = 0,746 kg/m³.
3. Continuidad: v₂ = ρ₁v₁A₁/(ρ₂A₂) = 1,716·50·0,03/(0,746·0,015) = 229,9 m/s. Mach de salida ≈ 0,53: todavía subsónico.
4. Cantidad de movimiento en x, con p₂ = p_a: F = (p₁ − p_a)A₁ + ρ₁v₁²A₁ − ρ₂v₂²A₂ = 1215,9 + 128,7 − 591,9 = 752,7 N.
5. Lectura: el gas empuja el conducto con 753 N hacia la salida, y el soporte del banco aguanta 753 N en sentido contrario. Por eso el conducto no se mueve. Si te sale 1937 N, has sumado el término de salida en vez de restarlo: la salida se lleva cantidad de movimiento.

Volumen de control

Se pega al álabe y viaja con él a velocidad constante u. Un sistema que se mueve a velocidad constante es inercial, así que la ecuación vale tal cual, con v_c = u. Visto desde él el flujo es estacionario.

Qué se anula

Acumulación: cero. Presión: el chorro está a p_a en toda su superficie libre, así que restando p_a solo queda la fuerza sobre el álabe. Viscosidad y peso: despreciables. En el chorro el módulo de la velocidad relativa se mantiene: $w=v-u$ a la entrada y a la salida (Bernoulli en ejes del álabe).

Cantidad de movimiento en x

$$-\dot{m}w+\dot{m}w\cos \theta =-F\Rightarrow F=\dot{m}w(1-\cos \theta )$$

Aquí está lo importante: el gasto que entra en el volumen de control es $\dot{m}=\rho A(v-v_c)$ con un álabe único, porque cruza la frontera con velocidad relativa. En una rueda llega el caudal completo, $\dot{m}=\rho Av$.

$$F_{\text{único}}=\rho A(v-u{)}^2(1-\cos \theta ),F_{\text{rueda}}=\rho Av(v-u)(1-\cos \theta )$$

Potencia y óptimo

$$\dot{W}=Fu,\eta =\frac{\dot{W}}{\frac{1}{2}\rho A{v}^3}$$

Con la rueda y θ = 180° queda η = 4(u/v)(1 − u/v), máximo igual a 1 en u = v/2. Con un álabe único queda 4(u/v)(1 − u/v)² y el máximo es 16/27 en u = v/3.

Volumen de control

Fijo al motor, con ejes pegados a él: entra el aire a v₀ por la izquierda y sale el chorro por la derecha. Régimen estacionario. En la frontera exterior la presión es p_a.

Masa

$$-G_0-G_c+G_e=0\Rightarrow G_e=G_0+G_c$$

Cantidad de movimiento en x

Entra $G_0{v}_0$ (la normal es opuesta a la velocidad) y sale $G_e{v}_e$. La presión actúa en la salida; en la entrada y en el contorno exterior es p_a y se compensa. El combustible entra sin cantidad de movimiento apreciable.

$$G_e{v}_e-G_0{v}_0=-(p_e-p_a)A_e-F_{\text{fluido sobre motor}}$$

La fuerza del fluido sobre el motor apunta hacia atrás, y el empuje es su opuesto:

$$\boxed{{\displaystyle T=G_e{v}_e-G_0{v}_0+(p_e-p_a)A_e}}$$

El primer sumando es el chorro. El segundo, la resistencia de captura (ram drag). El tercero se anula con la tobera adaptada. En el cohete G₀ = 0 y el impulso específico es $I_{sp}=T/(G_p{g}_0)$.

Volumen de control

Un tubo de corriente de ancho L alrededor de un álabe. Las caras superior e inferior son equivalentes por periodicidad y sus flujos se cancelan. Queda la entrada 1, la salida 2 y el álabe.

Masa

$${\rho }_1{v}_{1}L={\rho }_2{v}_2\cos \alpha L$$

Cantidad de movimiento, ejes x e y

Con presión atmosférica restada, las caras superior e inferior se cancelan y el álabe aporta la fuerza F. En la salida la corriente sale con ángulo α.

$$F_x=L[{\rho }_1{v}_1^2-{\rho }_2{v}_2^2{\cos }^2\alpha +(p_1-p_2)],F_y=L{\rho }_2{v}_2^2\cos \alpha \sin \alpha$$

Energía

Adiabática, sin trabajo (álabes fijos), uniforme en secciones: el trabajo de presión se junta con e para dar la entalpía, que con gas calorífico perfecto es $c_{p}T$.

$$c_p{T}_1+\frac{1}{2}{v}_1^2=c_p{T}_2+\frac{1}{2}{v}_2^2$$

Cierre

Hay cinco incógnitas (p₂, ρ₂, v₂, T₂, α) y cuatro ecuaciones. Falta la de estado: $p_2={\rho }_2{R}_g{T}_2$. Con $G^{\prime }={\rho }_1{v}_1$, $v_{2y}=-F_y/(G^{\prime }L)$ y $P_0=p_1+G^{\prime }{v}_1-F_x/L$, la presión es $p_2=P_0-G^{\prime }{v}_{2x}$ y la energía deja una ecuación de segundo grado en v_2x que se resuelve a mano o con la calculadora de arriba. De las dos raíces vale la que sigue a la corriente de entrada.

Volumen de control

Todo el fluido entre Σ_e y Σ_s, incluyendo las superficies del rotor Σ_m. Casi estacionario, uniforme en secciones, fuerzas másicas con potencial g z.

Qué se anula y qué sobrevive

Las paredes fijas no trabajan (v = 0). La presión y la viscosidad solo trabajan en el rotor, y todo ese trabajo se agrupa en $\dot{W}$. En Σ_e y Σ_s el trabajo de flujo p/ρ se junta con la energía interna y forma la entalpía $h=e+p/\rho$. El calor se agrupa en $\dot{Q}$.

$$G[{(h+\frac{1}{2}{v}^2+gz)}_s-{(h+\frac{1}{2}{v}^2+gz)}_e]=\dot{W}+\dot{Q},G=\rho vA$$

Para un líquido

Con $h=cT+p/\rho$, la ecuación se desdobla en una parte mecánica y una térmica:

$$\underset{\text{energía mecánica}}{\underbrace{G[\frac{p_s-p_e}{\rho }+\frac{v_s^2-v_e^2}{2}+g(z_s-z_e)]}}+\underset{\text{energía interna}}{\underbrace{Gc(T_s-T_e)}}=\dot{W}+\dot{Q}$$

La ecuación de la energía no dice cuánto trabajo se pierde en calor. Eso lo da el rendimiento: en una bomba $\eta \dot{W}$ va a energía mecánica y $(1-\eta )\dot{W}$ a calor. Es un dato extra, no sale de la conservación.