Saltar al contenido
PMAKDMY
Recurso
1º Bachillerato · Matemáticas I y CCSS IYear 12 · Mathematics I and Social Sciences I

Funciones lineales en 1º de Bachillerato con casos de empresa: beneficio, punto de equilibrio y márgenes, con simulador y simulacroLinear functions in Year 12 with business cases: profit, break-even and margins, with a simulator and a mock exam

Las funciones lineales de 1º de Bachillerato se entienden mejor con una empresa delante: la función beneficio es una recta, lo que no depende de los clientes es la ordenada en el origen, lo que sí depende es la pendiente, y saber cuándo pasas de pérdidas a beneficios es resolver una ecuación. Aquí tienes lo imprescindible, siete casos resueltos, un simulador para mover gastos fijos, gastos variables, precio y número de clientes, y un simulacro de 60 minutos con rúbrica.Linear functions in Year 12 are easier with a business in front of you: the profit function is a line, what does not depend on the customers is the intercept, what does is the slope, and knowing when you go from losses to profit is solving an equation. Here are the must-knows, seven worked cases, a simulator to move fixed costs, variable costs, price and number of customers, and a 60-minute mock with a rubric.

1Lo imprescindibleThe must-knows 2Casos resueltosWorked cases 3SimuladorSimulator 4Conviene saberloGood to know 5SimulacroMock exam 6Corrígete túMark it yourself
Parte 1Part 1

Lo imprescindible de las funciones lineales, en lenguaje de empresaThe must-knows of linear functions, in business language

Todo lo que viene se reduce a una recta, y una recta solo tiene dos números: dónde empieza y cuánto sube por cada paso. En una empresa esos dos números tienen nombre.Everything below boils down to a line, and a line has only two numbers: where it starts and how much it climbs per step. In a business those two numbers have names.

01 · qué es una función01 · what a function is

Una función es una transformación: entra un número y sale otroA function is a transformation: a number goes in and another comes out

f(x) = x + 2 convierte 3 en 5 y 10 en 12. f(x) = 2x convierte 3 en 6. La x es un número cualquiera: cuando leas x, piensa «el que yo meta». Y la misma transformación sirve para todos los números, no solo para uno. Eso es lo que la hace útil: te deja predecir.f(x) = x + 2 turns 3 into 5 and 10 into 12. f(x) = 2x turns 3 into 6. x is any number: when you read x, think "whatever I put in". And the same transformation works for every number, not just one. That is what makes it useful: it lets you predict.

02 · la recta02 · the line

f(x) = m·x + n: n es donde empiezas, m lo que cambia por cada unidadf(x) = m·x + n: n is where you start, m what changes per unit

B(x) = (margen por clientemargin per customer)·x + (lo que tienes con cero clienteswhat you have with zero customers)

Si dibujas la función te sale una recta, y la recta te da el resultado para cualquier x sin calcular: subes desde la x hasta la recta y lees la altura. n es la ordenada en el origen, el valor con x = 0. m es la pendiente, lo que sube o baja el resultado cada vez que x crece en 1. Si m es negativa, la recta baja.If you draw the function you get a line, and the line gives you the result for any x without calculating: go up from x to the line and read the height. n is the intercept, the value at x = 0. m is the slope, how much the result rises or falls each time x grows by 1. If m is negative, the line goes down.

03 · modelizar03 · modelling

Modelizar es elegir la x y montar la función; lo fijo no lleva x, lo variable síModelling is choosing x and building the function; fixed items carry no x, variable ones do

B(x) = (If − Gf) + (p − c)·x

La variable independiente es lo que no controlas matemáticamente: el número de clientes. Los gastos fijos (local, luz, personal que ya tienes) no dependen de los clientes y no llevan x. Los ingresos fijos (lo que ya facturas) tampoco. Por cada cliente nuevo ingresas p y gastas c, y eso sí lleva x. Los ingresos suman, los gastos restan. Lo que queda al agrupar las x es la pendiente, p − c: el margen por cliente. Lo que queda sin x es la ordenada en el origen: tu situación con cero clientes nuevos.The independent variable is what you cannot control mathematically: the number of customers. Fixed costs (premises, electricity, staff you already have) do not depend on the customers and carry no x. Fixed revenue (what you already bill) does not either. For each new customer you earn p and spend c, and that does carry x. Revenue adds, costs subtract. What is left after grouping the x terms is the slope, p − c: the margin per customer. What is left without x is the intercept: your situation with zero new customers.

04 · punto de equilibrio04 · break-even point

Para pasar de pérdidas a beneficios hay que cruzar el ceroTo go from losses to profit you must cross zero

B(x) = 0  →  x* = Gf / (p − c)

Si ayer perdías 500 € y hoy ganas 2000 €, en algún momento tu beneficio ha valido exactamente cero. Ese momento es donde la recta corta el eje x. Igualas la función a cero y ya no tienes una función, tienes una ecuación: una sola x que encontrar. Sale casi siempre con decimales, 28,57 clientes, y se lee así: con 28 hay pérdidas, con 29 beneficio. Siempre hacia arriba.If yesterday you lost 500 € and today you make 2000 €, at some point your profit was exactly zero. That moment is where the line crosses the x axis. Set the function equal to zero and you no longer have a function, you have an equation: one x to find. It almost always has decimals, 28.57 customers, and you read it like this: with 28 there are losses, with 29 profit. Always round up.

05 · resolver la ecuación05 · solving the equation

Lo que tiene x a un lado, lo que no tiene x al otroWhat has x on one side, what has no x on the other

Lo que suma pasa restando; lo que multiplica pasa dividiendo. Solo un cambio por paso: un número que está restando y pasa al otro lado cambia de signo; un número negativo que está multiplicando y pasa dividiendo sigue negativo. Ejemplo: 0 = −2000 + 70x → 2000 = 70x → x = 2000/70 = 28,57. Y menos entre menos es más.What adds moves across subtracting; what multiplies moves across dividing. Only one change per step: a number that is subtracting and moves to the other side changes sign; a negative number that is multiplying and moves across dividing stays negative. Example: 0 = −2000 + 70x → 2000 = 70x → x = 2000/70 = 28.57. And minus over minus is plus.

06 · márgenes06 · margins

Margen monetario es dinero; margen en porcentaje es dinero comparado con algoMoney margin is money; percentage margin is money compared with something

margen por clientemargin per customer = p − c  ·  margen monetariomoney margin = B(x)  ·  sobre ingresoson revenue = B/I · 100  ·  sobre costeson costs = B/G · 100

Con 40 clientes a 150 € y 80 € de gasto cada uno, y 2000 € fijos: ingresos 6000, gastos 5200, beneficio 800 €. Ese 800 es el margen monetario. En porcentaje depende de con qué lo compares: sobre ingresos, 800/6000 = 13,3 % de lo que facturas es para ti; sobre costes, 800/5200 = 15,4 % por encima de lo que te cuesta. Las dos cifras son correctas y no son la misma: di siempre cuál usas. Y es beneficio antes de impuestos y amortizaciones.With 40 customers at 150 € and 80 € of cost each, and 2000 € fixed: revenue 6000, costs 5200, profit 800 €. That 800 is the money margin. As a percentage it depends on what you compare it with: on revenue, 800/6000 = 13.3 % of what you bill is yours; on costs, 800/5200 = 15.4 % above what it costs you. Both figures are correct and they are not the same: always say which one you use. And it is profit before tax and depreciation.

07 · qué pasa si…07 · what happens if…

Lo fijo desplaza la recta; lo variable la inclinaFixed items shift the line; variable ones tilt it

CambioChangeQué hace a la rectaWhat it does to the linePunto de equilibrioBreak-even
Suben los gastos fijosFixed costs go upBaja entera, en paralelo. La pendiente no cambiaShifts down as a whole. The slope does not changeSe aleja: hacen falta más clientesMoves away: more customers needed
Sube el precio por clientePrice per customer goes upSe inclina másGets steeperSe acercaComes closer
Sube el gasto por clienteCost per customer goes upSe inclina menosGets flatterSe alejaMoves away
El gasto por cliente supera al precioCost per customer exceeds the pricePendiente negativa: bajaNegative slope: goes downNo hay. Cada cliente empeora las cuentasNone. Each customer makes things worse
Hay ingresos fijos mayores que los gastos fijosFixed revenue exceeds fixed costsEmpieza por encima del ceroStarts above zeroSale negativo: clientes que puedes perderComes out negative: customers you can afford to lose

Dos habilidades distintas: modelizar, pasar del negocio a la función, y analizar, ver dónde corta, cuánto sube y qué pasa si cambias un dato. La segunda te la hace cualquier programa. La primera no: eres tú quien decide qué es fijo, qué es variable y qué es la x. Y cuando un dato no es seguro, se le aplica un factor de seguridad: una estructura que rompe con 300 N se certifica para 200 con un factor de 1,5. Con un negocio, igual: divide el beneficio previsto entre 1,5, o estima los gastos por encima.Two different skills: modelling, going from the business to the function, and analysing, seeing where it crosses, how much it climbs and what happens if you change a figure. Any program does the second. Not the first: you decide what is fixed, what is variable and what x is. And when a figure is uncertain, apply a safety factor: a structure that fails at 300 N is certified for 200 with a factor of 1.5. Same with a business: divide the expected profit by 1.5, or estimate costs on the high side.

Parte 2Part 2

Casos resueltos de funciones lineales con empresasWorked cases of linear functions with businesses

Siete negocios inventados. En todos la pregunta es la misma: monta la función, dibújala en tu cabeza y pregunta dónde cruza el cero. Intenta cada uno antes de abrir la solución.Seven made-up businesses. In all of them the question is the same: build the function, picture it and ask where it crosses zero. Try each one before opening the solution.

Caso 1: una empresa de serviciosCase 1: a service company

Una empresa de servicios paga 2400 € al mes de local, luz y seguros. Cada cliente le paga 160 € al mes y le cuesta 90 € al mes atenderlo. Monta la función beneficio, calcula cuántos clientes necesita para no perder dinero y el beneficio y los márgenes con 50 clientes.A service company pays 2400 € a month for premises, electricity and insurance. Each customer pays it 160 € a month and costs it 90 € a month to serve. Build the profit function, find how many customers it needs to stop losing money, and the profit and margins with 50 customers.

Ver la soluciónSee the solution
  1. x = número de clientes. Fijo: −2400 (es un gasto, resta). Por cliente: +160x − 90x. B(x) = −2400 + 160x − 90x = −2400 + 70x. El margen por cliente es 70 €.x = number of customers. Fixed: −2400 (a cost, it subtracts). Per customer: +160x − 90x. B(x) = −2400 + 160x − 90x = −2400 + 70x. The margin per customer is 70 €.
  2. Equilibrio: 0 = −2400 + 70x → 2400 = 70x → x* = 34,29. Con 34 clientes pierde, con 35 gana.Break-even: 0 = −2400 + 70x → 2400 = 70x → x* = 34.29. With 34 customers it loses, with 35 it earns.
  3. Con 50: B(50) = −2400 + 3500 = 1100 €. Ingresos 160·50 = 8000; gastos 2400 + 90·50 = 6900.With 50: B(50) = −2400 + 3500 = 1100 €. Revenue 160·50 = 8000; costs 2400 + 90·50 = 6900.
  4. Márgenes: sobre ingresos 1100/8000 = 13,8 %; sobre costes 1100/6900 = 15,9 %.Margins: on revenue 1100/8000 = 13.8 %; on costs 1100/6900 = 15.9 %.

B(x) = 70x − 2400. Equilibrio en 35 clientes. Con 50, 1100 € de margen monetario.B(x) = 70x − 2400. Break-even at 35 customers. With 50, 1100 € money margin.

Caso 2: una empresa que ya tiene clientesCase 2: a company that already has customers

Una constructora pequeña tiene 26 000 € al mes de gastos fijos y 30 000 € al mes de ingresos fijos por las obras que ya tiene. Cada obra nueva le deja 12 000 € al mes y le cuesta 8000 € al mes. ¿Cuál es la función beneficio en obras nuevas? ¿Qué significa el punto de equilibrio aquí?A small builder has 26,000 € a month in fixed costs and 30,000 € a month in fixed revenue from the jobs it already has. Each new job brings 12,000 € a month and costs 8000 € a month. What is the profit function in new jobs? What does the break-even mean here?

Ver la soluciónSee the solution
  1. Con cero obras nuevas: 30 000 − 26 000 = 4000 € de beneficio. Es la ordenada en el origen, y es positiva: la recta empieza por encima del cero.With zero new jobs: 30,000 − 26,000 = 4000 € profit. It is the intercept, and it is positive: the line starts above zero.
  2. Por obra nueva: 12 000 − 8000 = 4000 €. B(x) = 4000 + 4000x.Per new job: 12,000 − 8000 = 4000 €. B(x) = 4000 + 4000x.
  3. Equilibrio: 0 = 4000 + 4000x → x* = −1. Negativo: no necesitas obras nuevas para tener beneficio, y si pierdes una de las que tienes, te quedas en cero.Break-even: 0 = 4000 + 4000x → x* = −1. Negative: you need no new jobs to make a profit, and if you lose one of those you have, you drop to zero.

Un punto de equilibrio negativo es un margen de seguridad: cuántos clientes puedes perder antes de entrar en pérdidas.A negative break-even is a safety margin: how many customers you can lose before going into losses.

Caso 3: cada cliente cuesta más de lo que pagaCase 3: each customer costs more than they pay

Un negocio tiene 1500 € fijos al mes, cobra 60 € por cliente y gasta 75 € por cliente. Monta la función, di si existe punto de equilibrio y calcula el precio mínimo para no perder dinero con 50 clientes.A business has 1500 € fixed a month, charges 60 € per customer and spends 75 € per customer. Build the function, say whether a break-even exists, and find the minimum price to avoid losing money with 50 customers.

Ver la soluciónSee the solution
  1. B(x) = −1500 + 60x − 75x = −1500 − 15x. Pendiente negativa: cada cliente resta 15 €.B(x) = −1500 + 60x − 75x = −1500 − 15x. Negative slope: each customer subtracts 15 €.
  2. 0 = −1500 − 15x → x = −100. No hay un número de clientes positivo que arregle esto: más clientes, más pérdidas.0 = −1500 − 15x → x = −100. No positive number of customers fixes this: more customers, more losses.
  3. Precio mínimo p con 50 clientes: 0 = −1500 + (p − 75)·50 → p − 75 = 30 → p = 105 €. Por debajo de 75 € el problema no es el precio, es que el gasto por cliente es mayor que lo que cobras.Minimum price p with 50 customers: 0 = −1500 + (p − 75)·50 → p − 75 = 30 → p = 105 €. Below 75 € the problem is not the price: the cost per customer is larger than what you charge.

Mira siempre el signo de la pendiente antes de buscar el equilibrio. Si es negativa, la solución no está en vender más.Always look at the sign of the slope before looking for the break-even. If it is negative, the answer is not selling more.

Caso 4: un objetivo de beneficioCase 4: a profit target

Un taller tiene 3000 € fijos al mes, cobra 200 € por trabajo y gasta 120 € en materiales por trabajo. ¿Cuántos trabajos al mes necesita para ganar 5000 €? ¿Y 20 000 €?A workshop has 3000 € fixed a month, charges 200 € per job and spends 120 € in materials per job. How many jobs a month does it need to make 5000 €? And 20,000 €?

Ver la soluciónSee the solution
  1. B(x) = −3000 + 80x.B(x) = −3000 + 80x.
  2. El objetivo no es cero, es 5000: 5000 = −3000 + 80x → 8000 = 80x → x = 100 trabajos.The target is not zero, it is 5000: 5000 = −3000 + 80x → 8000 = 80x → x = 100 jobs.
  3. Para 20 000: 23 000 = 80x → x = 287,5 → 288 trabajos.For 20,000: 23,000 = 80x → x = 287.5 → 288 jobs.

Es la misma ecuación que el equilibrio con el cero cambiado por el objetivo: x = (objetivo + gastos fijos)/margen por cliente.It is the same equation as the break-even with zero replaced by the target: x = (target + fixed costs)/margin per customer.

Caso 5: dos estrategias, dos rectasCase 5: two strategies, two lines

Estrategia A: local pequeño, 1000 € fijos y 50 € de margen por cliente. Estrategia B: local grande con más personal, 4000 € fijos y 90 € de margen por cliente. ¿A partir de cuántos clientes compensa la B? ¿Cuál es el equilibrio de cada una?Strategy A: small premises, 1000 € fixed and 50 € margin per customer. Strategy B: large premises with more staff, 4000 € fixed and 90 € margin per customer. From how many customers does B pay off? What is each one's break-even?

Ver la soluciónSee the solution
  1. BA(x) = 50x − 1000. BB(x) = 90x − 4000.BA(x) = 50x − 1000. BB(x) = 90x − 4000.
  2. Equilibrios: A en 1000/50 = 20 clientes; B en 4000/90 = 44,4 → 45 clientes. B tarda más en dejar de perder.Break-evens: A at 1000/50 = 20 customers; B at 4000/90 = 44.4 → 45 customers. B takes longer to stop losing.
  3. B supera a A donde las rectas se cruzan: 90x − 4000 = 50x − 1000 → 40x = 3000 → x = 75. Con menos de 75 clientes gana más A; con más de 75, B.B overtakes A where the lines cross: 90x − 4000 = 50x − 1000 → 40x = 3000 → x = 75. Below 75 customers A earns more; above 75, B.

Más pendiente acaba ganando, pero solo si llegas al cruce. Hasta entonces los fijos altos pesan.The steeper slope wins in the end, but only if you reach the crossing. Until then the high fixed costs weigh.

Caso 6: de dos datos a la funciónCase 6: from two data points to the function

No te dan los gastos. Solo sabes que con 10 clientes una tienda perdió 500 € y con 30 ganó 700 €. Si el beneficio es lineal, saca la función, los gastos fijos y el equilibrio.You are not given the costs. You only know that with 10 customers a shop lost 500 € and with 30 it made 700 €. If profit is linear, find the function, the fixed costs and the break-even.

Ver la soluciónSee the solution
  1. Pendiente = lo que cambia el beneficio entre lo que cambian los clientes: (700 − (−500))/(30 − 10) = 1200/20 = 60 € por cliente.Slope = change in profit over change in customers: (700 − (−500))/(30 − 10) = 1200/20 = 60 € per customer.
  2. Ordenada en el origen: B(10) = −500 = n + 60·10 → n = −1100. Los gastos fijos son 1100 €.Intercept: B(10) = −500 = n + 60·10 → n = −1100. Fixed costs are 1100 €.
  3. B(x) = 60x − 1100. Comprueba con el otro dato: 60·30 − 1100 = 700. Equilibrio: 1100/60 = 18,3 → 19 clientes.B(x) = 60x − 1100. Check with the other data point: 60·30 − 1100 = 700. Break-even: 1100/60 = 18.3 → 19 customers.

Dos puntos determinan la recta. Es lo que hace una hoja de cálculo cuando le das dos meses de resultados.Two points determine the line. It is what a spreadsheet does when you give it two months of results.

Caso 7: un dato que no es seguroCase 7: a figure that is not certain

Vuelve al caso 1 (2400 € fijos, 160 € por cliente, 90 € de gasto por cliente). El gasto por cliente es una estimación y podría ser un 20 % mayor. ¿Cómo cambia el equilibrio? ¿Y si los gastos fijos suben 500 €?Go back to case 1 (2400 € fixed, 160 € per customer, 90 € cost per customer). The cost per customer is an estimate and could be 20 % higher. How does the break-even change? And if fixed costs rise by 500 €?

Ver la soluciónSee the solution
  1. Gasto por cliente 90·1,2 = 108 €. Margen 160 − 108 = 52 €. Equilibrio 2400/52 = 46,2 → 47 clientes, frente a 35. Un 20 % más de gasto por cliente mueve el equilibrio un 35 %: la pendiente manda.Cost per customer 90·1.2 = 108 €. Margin 160 − 108 = 52 €. Break-even 2400/52 = 46.2 → 47 customers, against 35. A 20 % higher cost per customer moves the break-even by 35 %: the slope rules.
  2. Fijos 2900 con el margen original de 70: 2900/70 = 41,4 → 42 clientes. Cada 70 € de gasto fijo cuesta un cliente más de equilibrio.Fixed 2900 with the original margin of 70: 2900/70 = 41.4 → 42 customers. Every 70 € of fixed cost costs one more break-even customer.
  3. Factor de seguridad: planifica con el peor caso que te parezca razonable, 47 clientes, no con 35.Safety factor: plan with the worst case that seems reasonable, 47 customers, not 35.

Pruébalo en el simulador: la tabla de «qué pasa si» te da estos movimientos para cualquier empresa.Try it in the simulator: the "what if" table gives you these movements for any business.

Parte 3Part 3

Simulador: una empresa con cuatro datos y una rectaSimulator: a business with four figures and a line

Mueve los gastos fijos, los ingresos fijos, el precio y el gasto por cliente. La recta dorada es el beneficio; la azul, los ingresos; la roja, los gastos. El punto ámbar es el equilibrio. Pulsa o arrastra en la gráfica para cambiar el número de clientes.Move the fixed costs, fixed revenue, price and cost per customer. The gold line is profit; the blue one, revenue; the red one, costs. The amber dot is the break-even. Click or drag on the chart to change the number of customers.

Simulador · función beneficioSimulator · profit function

Qué pasa si cambias un datoWhat happens when you change a figure

El simulador necesita JavaScript. Sin él, la idea es esta: B(x) = (If − Gf) + (p − c)·x, y el equilibrio está en x* = (Gf − If)/(p − c).The simulator needs JavaScript. Without it, the idea is this: B(x) = (If − Gf) + (p − c)·x, and the break-even is at x* = (Gf − If)/(p − c).

Qué pasa si…What if…El equilibrio se mueveBreak-even movesPor quéWhy
Con JavaScript, aquí ves cuántos clientes se mueve el equilibrio con cada cambio.With JavaScript, here you see how many customers the break-even moves with each change.

Prueba esto: sube los gastos fijos y mira que la pendiente no cambia; sube el gasto por cliente hasta pasar el precio y mira la recta bajar; pon ingresos fijos mayores que los gastos fijos y busca el equilibrio negativo; por último escribe un objetivo y comprueba el número de clientes con la ecuación.Try this: raise the fixed costs and see that the slope does not change; raise the cost per customer past the price and watch the line go down; set fixed revenue above fixed costs and look for the negative break-even; finally type a target and check the number of customers with the equation.

Conviene saberlo: donde se pierden los puntosGood to know: where the marks are lost

  • Juntar lo que lleva x con lo que no. 33 400 + 50 400x no son 83 800x. Solo se agrupan términos con la misma letra.Mixing terms with x and without. 33,400 + 50,400x is not 83,800x. Only terms with the same letter group together.
  • El signo al pasar dividiendo. −70x = −2000 → x = −2000/(−70) = +28,57. Lo que multiplica pasa dividiendo con su signo; no cambia de signo además.The sign when moving across dividing. −70x = −2000 → x = −2000/(−70) = +28.57. What multiplies moves across dividing with its sign; it does not change sign as well.
  • Redondear el equilibrio hacia abajo. 28,57 clientes significa que con 28 pierdes. El primer entero con beneficio es 29.Rounding the break-even down. 28.57 customers means that with 28 you lose. The first whole number with profit is 29.
  • Olvidar el signo de la pendiente. Si el gasto por cliente supera al precio, no hay equilibrio que buscar.Forgetting the sign of the slope. If the cost per customer exceeds the price, there is no break-even to look for.
  • Dar un margen en porcentaje sin decir sobre qué. Sobre ingresos y sobre costes son dos números distintos.Giving a percentage margin without saying over what. On revenue and on costs are two different numbers.
  • Mezclar meses y años. Gastos fijos al mes con ingresos por cliente al año dan una recta sin sentido. Todo en la misma unidad de tiempo.Mixing months and years. Monthly fixed costs with yearly revenue per customer give a meaningless line. Everything in the same time unit.
  • Leer x negativo como error. Un equilibrio negativo es correcto: son los clientes que puedes perder.Reading a negative x as an error. A negative break-even is correct: it is the number of customers you can afford to lose.
  • Tomar el beneficio de la recta por el neto. Faltan impuestos, amortizaciones e intereses. La recta es el primer análisis, no la contabilidad.Taking the profit on the line as net profit. Tax, depreciation and interest are missing. The line is the first analysis, not the accounts.
Parte 4Part 4

Simulacro de funciones linealesLinear functions mock exam

Tres ejercicios, 60 minutos, con calculadora. Son ejercicios propios, no enunciados de un examen real. Puntúa sobre 10.Three exercises, 60 minutes, with a calculator. These are our own exercises, not questions from a real exam. Marked out of 10.

60:00
NotaScore 0,0 / 10

Ejercicio 1Exercise 1

3,5 puntos3.5 points

Una academia online tiene 1800 € al mes de gastos fijos. Cada alumno paga 90 € al mes y cuesta 35 € al mes en profesorado y plataforma.An online academy has 1800 € a month in fixed costs. Each student pays 90 € a month and costs 35 € a month in teaching and platform.

  1. a)(0,8 puntos) Escribe la función beneficio y di qué significan su pendiente y su ordenada en el origen.(0.8 points) Write the profit function and say what its slope and intercept mean.
  2. b)(0,9 puntos) Calcula el punto de equilibrio e interprétalo.(0.9 points) Find the break-even point and interpret it.
  3. c)(1 punto) Con 60 alumnos, calcula ingresos, gastos, beneficio y margen sobre ingresos.(1 point) With 60 students, find revenue, costs, profit and margin on revenue.
  4. d)(0,8 puntos) ¿Cuántos alumnos hacen falta para ganar 3000 € al mes?(0.8 points) How many students are needed to make 3000 € a month?
Solución y correcciónSolution and marking
a)

B(x) = −1800 + 90x − 35x = 55x − 1800. Pendiente 55: cada alumno deja 55 €. Ordenada −1800: con cero alumnos se pierden los fijos.B(x) = −1800 + 90x − 35x = 55x − 1800. Slope 55: each student leaves 55 €. Intercept −1800: with zero students the fixed costs are lost.

b)

0 = 55x − 1800 → x* = 1800/55 = 32,7. Con 32 alumnos hay pérdidas; con 33, beneficio.0 = 55x − 1800 → x* = 1800/55 = 32.7. With 32 students there are losses; with 33, profit.

c)

Ingresos 90·60 = 5400 €. Gastos 1800 + 35·60 = 3900 €. B(60) = 1500 €. Margen sobre ingresos 1500/5400 = 27,8 %.Revenue 90·60 = 5400 €. Costs 1800 + 35·60 = 3900 €. B(60) = 1500 €. Margin on revenue 1500/5400 = 27.8 %.

d)

3000 = 55x − 1800 → 4800 = 55x → x = 87,3 → 88 alumnos.3000 = 55x − 1800 → 4800 = 55x → x = 87.3 → 88 students.

RúbricaRubric0 / 3,5

Ejercicio 2Exercise 2

3,5 puntos3.5 points

Una tienda online elige empresa de envíos. Tarifa A: 300 € al mes fijos y 2 € por pedido. Tarifa B: sin cuota fija y 5 € por pedido.An online shop is choosing a courier. Plan A: 300 € a month fixed and 2 € per order. Plan B: no fixed fee and 5 € per order.

  1. a)(0,8 puntos) Escribe el coste mensual de cada tarifa en función del número de pedidos x.(0.8 points) Write the monthly cost of each plan as a function of the number of orders x.
  2. b)(1 punto) ¿Para cuántos pedidos cuestan lo mismo?(1 point) For how many orders do they cost the same?
  3. c)(0,9 puntos) ¿Cuál conviene con 60 pedidos al mes? ¿Y con 150? Calcula el ahorro en cada caso.(0.9 points) Which one is better with 60 orders a month? And with 150? Work out the saving in each case.
  4. d)(0,8 puntos) Describe cómo son las dos rectas en una gráfica y por qué se cruzan.(0.8 points) Describe what the two lines look like on a chart and why they cross.
Solución y correcciónSolution and marking
a)

CA(x) = 300 + 2x. CB(x) = 5x.CA(x) = 300 + 2x. CB(x) = 5x.

b)

300 + 2x = 5x → 300 = 3x → x = 100 pedidos. Ahí las dos cuestan 500 €.300 + 2x = 5x → 300 = 3x → x = 100 orders. There both cost 500 €.

c)

Con 60: A = 420 €, B = 300 €; conviene B, ahorra 120 €. Con 150: A = 600 €, B = 750 €; conviene A, ahorra 150 €.With 60: A = 420 €, B = 300 €; B is better, saves 120 €. With 150: A = 600 €, B = 750 €; A is better, saves 150 €.

d)

A empieza en 300 y sube 2 por pedido; B empieza en 0 y sube 5 por pedido. B empieza más abajo pero sube más deprisa, así que alcanza a A y la supera en x = 100.A starts at 300 and rises 2 per order; B starts at 0 and rises 5 per order. B starts lower but climbs faster, so it catches up with A and overtakes it at x = 100.

RúbricaRubric0 / 3,5

Ejercicio 3Exercise 3

3 puntos3 points

Una cafetería no sabe sus costes exactos. Un día con 20 clientes perdió 140 €; otro día con 50 clientes ganó 310 €. Supón que el beneficio diario es una función lineal del número de clientes.A café does not know its exact costs. One day with 20 customers it lost 140 €; another day with 50 customers it made 310 €. Assume daily profit is a linear function of the number of customers.

  1. a)(1,2 puntos) Calcula la pendiente y escribe la función.(1.2 points) Find the slope and write the function.
  2. b)(0,9 puntos) ¿Cuánto son los gastos fijos diarios y cuál es el punto de equilibrio?(0.9 points) What are the daily fixed costs and what is the break-even point?
  3. c)(0,9 puntos) Si el alquiler sube y los gastos fijos crecen un 10 %, ¿cuántos clientes más hacen falta para el equilibrio?(0.9 points) If the rent rises and fixed costs grow by 10 %, how many more customers are needed to break even?
Solución y correcciónSolution and marking
a)

m = (310 − (−140))/(50 − 20) = 450/30 = 15 € por cliente. n: −140 = 15·20 + n → n = −440. B(x) = 15x − 440. Comprobación: 15·50 − 440 = 310.m = (310 − (−140))/(50 − 20) = 450/30 = 15 € per customer. n: −140 = 15·20 + n → n = −440. B(x) = 15x − 440. Check: 15·50 − 440 = 310.

b)

Gastos fijos 440 € al día. Equilibrio 440/15 = 29,3 → 30 clientes.Fixed costs 440 € a day. Break-even 440/15 = 29.3 → 30 customers.

c)

Fijos 484 €. Equilibrio 484/15 = 32,3 → 33 clientes: tres más.Fixed 484 €. Break-even 484/15 = 32.3 → 33 customers: three more.

RúbricaRubric0 / 3
Parte 5Part 5

Corrígete túMark it yourself

La rúbrica es nuestra y orientativa. En 1º de Bachillerato no hay criterios oficiales de corrección como en la PAU; lo que siempre vale es la ecuación bien planteada y el resultado interpretado.The rubric is ours and is only a guide. In Year 12 there are no official marking criteria as in the PAU; what always counts is the equation set up properly and the result interpreted.

Rutina para corregirteSelf-marking routine

  1. Deja de escribir cuando el reloj llegue a 0.Stop writing when the clock reaches 0.
  2. Cambia a un boli de otro color y abre la solución.Switch to a pen of another colour and open the solution.
  3. Marca una línea de la rúbrica solo si tu hoja enseña ese paso.Tick a rubric line only if your paper shows that step.
  4. En cada apartado perdido, escribe qué era fijo, qué variable y cuál era la x. El error suele estar ahí.For each part you lost, write down what was fixed, what was variable and what x was. The mistake is usually there.
  5. Dos días después, rehaz solo los apartados que perdiste, sin mirar.Two days later, redo only the parts you lost, without looking.

Tus marcas se guardan solo en este navegador.Your ticks stay in this browser only.

Cuéntame en qué punto estás

Mira el plan, contesta dos preguntas y, si encajamos, pide la llamada. En 30 minutos te digo si te puedo ayudar y cómo, sin rodeos.

Soy el alumnoSoy padre o madre

¿Una duda antes? Escríbeme por WhatsApp.