Aplicaciones lineales: núcleo, imagen y matriz, con ejercicios

Parte 1Qué está pasando

Antes de calcular nada. Esta parte busca que veas qué hace una aplicación lineal y por qué todo el tema se reduce a dos preguntas: qué se pierde y a dónde se llega.

Una aplicación lineal respeta las combinaciones

En el recurso de espacios vectoriales viste que en un espacio vectorial todo se construye con una operación: $a u + b v$ . Una aplicación lineal $f : V \to W$ es una función que no estropea esa operación:

f (a u + b v) = a f (u) + b f (v) para todos u, v \in V, a, b \in K .

Es lo mismo que pedir dos cosas por separado: $f (u + v) = f (u) + f (v)$ y $f (λ u) = λ f (u)$ . Da igual combinar primero y transformar después, o al revés: sale lo mismo.

Transforma el plano

Las seis primeras son lineales: el origen no se mueve y la rejilla sigue siendo rejilla. Las dos últimas no: mira qué se rompe.

Una consecuencia que usarás siempre: tomando $λ = 0$ sale $f (0) = 0$ . Una aplicación lineal siempre manda el cero al cero.

Cómo pillar una que no es lineal

Para decir que sí es lineal hay que demostrarlo con $u$ , $v$ y $λ$ cualesquiera. Para decir que no, basta un contraejemplo con números. Antes de hacer cuentas, mira la fórmula:

Si cada componente es una suma de variables multiplicadas por números fijos ( $2 x + 3 y$ , $x_{1} + x_{4}$ , $a + c$ ), es lineal.
Un número suelto la rompe: $x + y + 1$ da $f (0) \neq 0$ .
Un cuadrado, un producto de variables o un valor absoluto la rompen: $f (2 u)$ deja de ser $2 f (u)$ .

Ponla a prueba

Cambia de aplicación, de par de vectores y de λ. En una lineal las dos columnas coinciden siempre; en una no lineal basta que falle una vez.

AtajoEmpieza por $f (0)$ . Si no sale 0, ya has terminado: no es lineal. Si sale 0, todavía no has demostrado nada, porque $f (x) = x^{2}$ también cumple $f (0) = 0$ .

Núcleo e imagen: qué se pierde y a dónde se llega

Toda aplicación lineal tiene dos subespacios asociados:

Núcleo $\ker f = {v \in V : f (v) = 0}$ . Son las direcciones que se aplastan hasta el cero. Vive en la salida de la flecha, en $V$ .
Imagen $Im f = {f (v) : v \in V}$ . Es todo lo que se alcanza. Vive en la llegada, en $W$ .

Arrastra x a lo largo de la recta dorada

Si $f (u) = f (v)$ , entonces $f (u - v) = 0$ : dos vectores dan la misma salida justo cuando se diferencian en algo del núcleo. Por eso el núcleo mide la información que se pierde. Y las dimensiones se reparten con la regla más importante del tema, el teorema de las dimensiones:

\dim V = \dim \ker f + \dim Im f .

Cada dimensión que entra solo puede hacer dos cosas: sobrevivir en la imagen o aplastarse en el núcleo. A $\dim Im f$ se le llama rango de $f$ .

Inyectiva y suprayectiva

Inyectiva: nunca junta dos vectores distintos en la misma salida. Por lo anterior, equivale a $\ker f = {0}$ , es decir, $\dim \ker f = 0$ .
Suprayectiva (también se dice sobreyectiva): llega a todo. Equivale a $Im f = W$ , es decir, $rg f = \dim W$ .
Biyectiva: las dos cosas. Se llama isomorfismo y solo puede existir si $\dim V = \dim W$ .

Reparte las dimensiones

Del teorema de las dimensiones salen tres reglas que resuelven ejercicios enteros sin calcular:

Si	Entonces	Porque
$\dim V > \dim W$	nunca es inyectiva	el rango no pasa de $\dim W$ , así que el núcleo tiene al menos $\dim V - \dim W$
$\dim V < \dim W$	nunca es suprayectiva	el rango no pasa de $\dim V$
$\dim V = \dim W$	inyectiva si y solo si suprayectiva	núcleo 0 obliga a rango $\dim V = \dim W$

La imagen de una base lo decide todo

Si $B = (b_{1}, \dots, b_{n})$ es una base de $V$ , cada $x$ se escribe de una sola forma como $x = c_{1} b_{1} + \dots + c_{n} b_{n}$ . Por linealidad:

f (x) = c_{1} f (b_{1}) + \dots + c_{n} f (b_{n}) .

Así que basta saber a dónde van los vectores de una base para conocer $f$ entera, y además puedes elegir esas imágenes como quieras: siempre existe una única aplicación lineal que las cumple. Es lo que pide el ejercicio 9.

Decide a dónde van b₁ y b₂

A la izquierda, la base B = ((1, 1), (1, −1)) y un punto x que puedes arrastrar. A la derecha, arrastra f(b₁) y f(b₂). Todo lo demás queda decidido.

Parte 2Cómo lo hacen las matrices

Lo mismo, con números. Una matriz es la tabla donde se apuntan las imágenes de una base.

La matriz en las bases usuales

Con las bases canónicas, la matriz de $f : K^{n} \to K^{m}$ tiene por columnas las imágenes de $e_{1}, \dots, e_{n}$ :

A = (\begin{matrix} | & | \\ f (e_{1}) & \dots & f (e_{n}) \\ | & | \end{matrix}), f (x) = A x .

Truco para escribirla sin pensar: los coeficientes de cada componente de la fórmula son una fila. Con $f (x, y, z) = (x + z, y - z)$ :

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}) .

Tiene $m$ filas porque salen $m$ números y $n$ columnas porque entran $n$ . Una matriz $m \times n$ va de $K^{n}$ a $K^{m}$ .
El núcleo son las soluciones de $A x = 0$ .
La imagen es la clausura lineal de las columnas, y su dimensión es el rango de $A$ .
Con polinomios se hace igual, cambiando cada polinomio por la lista de sus coeficientes en $1, t, t^{2}, \dots$

Laboratorio: núcleo e imagen de cualquier matriz

Los casos de arriba son las aplicaciones de los ejercicios 4 y 8. También puedes escribir tu propia matriz y cambiar su tamaño.

Laboratorio de matrices

Admite enteros, decimales y fracciones como 1/2. Con tamaño 4 no hay dibujo: el vector se ve como lista de números. Pulsa «Mover x por el núcleo» y verás la entrada cambiar mientras la salida se queda quieta.

La matriz respecto de otras bases

Si en la salida usas la base $B = (b_{1}, \dots, b_{n})$ y en la llegada la base $D$ , la matriz coordenada $M_{B, D} (f)$ se construye igual, pero midiendo con la rejilla de $D$ :

columna j de M_{B, D} (f) = coordenadas en D de f (b_{j}) .

Hay dos caminos. El directo: calculas cada $f (b_{j})$ y resuelves un sistema para escribirlo en $D$ . El de cambio de base: pasas de $B$ a la base usual, aplicas $A$ y pasas de la usual a $D$ . Se escribe de derecha a izquierda porque la primera en actuar es la de la derecha:

M_{B, D} (f) = P_{D}^{- 1} A P_{B} .

Las tres matrices del ejercicio 8

Idea claveCambiar de base cambia los números de la matriz, pero no la aplicación. Por eso el rango, el núcleo y la imagen son los mismos con cualquier par de bases.

Receta para un examen

¿Es lineal? Mira $f (0)$ y la forma de la fórmula. Si falla, da un contraejemplo con números. Si no, demuestra $f (λ u + μ v) = λ f (u) + μ f (v)$ .
Matriz. Coeficientes de cada componente en filas, o imágenes de la base en columnas.
Rango escalonando. Ese número es $\dim Im f$ .
Núcleo: $\dim \ker f = n - rg f$ . Resuelve $A x = 0$ y da una base.
Imagen: las columnas con pivote son una base. Las ecuaciones implícitas salen pidiendo que $(y_{1}, \dots, y_{m})$ no suba el rango.
Inyectiva si $\dim \ker f = 0$ . Suprayectiva si $rg f = \dim W$ .

Cómo se piensa en clase, antes de calcular nada

Cinco hábitos de una clase de aplicaciones lineales del 5 de noviembre, que ahorran la mitad de los errores:

Cuenta primero qué sobrevive. Si vas de $R^{4}$ a $R^{4}$ y las cuatro fórmulas son independientes, nada se aplasta: el núcleo es cero y no hace falta resolver nada. Si vas de $R^{3}$ a $R^{2}$ , al menos una dimensión se comprime. Decide esto antes de abrir el sistema y luego compruébalo.
El núcleo se saca igualando a cero el lado pequeño. Las fórmulas de la llegada igualadas a cero ya son las ecuaciones implícitas del núcleo; con eso has terminado, salvo que te pidan una base. Entonces das valores a un parámetro y despejas. Y no confundas el número de implícitas con la dimensión: en $R^{3}$ , dos implícitas son una recta, dimensión uno. La dimensión la dice el número de parámetros.
La imagen, dando valores. Mete $(1, 0, 0)$ , luego $(0, 1, 0)$ , luego $(0, 0, 1)$ : cada salida es una columna de la matriz. Es lo mismo que leer los coeficientes por filas, pero cuesta más equivocarse. Filas: dimensión de la llegada. Columnas: dimensión de la salida.
Una aplicación de $R^{3}$ en $R$ es un producto escalar. La matriz es una fila, $(2 3 1)$ , y multiplicarla por $(x, y, z)$ da un número. Es la aplicación lineal más conocida, solo que en bachillerato nadie la llama así. Núcleo de dimensión dos: el plano perpendicular.
Si te dan $f$ sobre otra base, cambia la base del destino, no la del origen. Escribe $e_{1}$ como combinación de los $b_{j}$ y, en esa misma combinación, sustituye cada $b_{j}$ por su imagen $f (b_{j})$ : da igual cambiar de base antes o después de aplicar $f$ . Es lo que hace el ejercicio 9 con los $\frac{1}{2}$ : $f (e_{1}) = \frac{1}{2} f (b_{1}) - \frac{1}{2} f (b_{2}) + \frac{1}{2} f (b_{3})$ . Cuando ese ejercicio sale solo, el tema está dominado.

Parte 3Ejercicios resueltos

Once ejercicios del tipo que se trabaja en el primer curso de cualquier ingeniería. Cada uno trae los cálculos y una figura para ver qué ocurre. Los resultados se han comprobado con cálculo exacto por ordenador.

La traza es lineal

Demostrar que la traza $tr : M_{n} (K) \to K$ , la suma de la diagonal, es lineal. Hallar la dimensión de su núcleo.

Qué hay que probar. Para $A, B \in M_{n} (K)$ y $λ, μ \in K$ : $tr (λ A + μ B) = λ tr A + μ tr B$ .
La cuenta. La diagonal de $λ A + μ B$ tiene entradas $λ a_{i i} + μ b_{i i}$ : $tr (λ A + μ B) = \sum_{i = 1}^{n} (λ a_{i i} + μ b_{i i}) = λ \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} + μ \sum_{i = 1}^{n} b_{i i} . ◼$
Núcleo. La traza llega a todo $K$ (la matriz con un 1 arriba a la izquierda y el resto ceros tiene traza 1), así que su rango es 1. Por el teorema de las dimensiones: $\dim \ker tr = n^{2} - 1.$

La traza es lineal y suprayectiva. Las matrices de traza 0 forman un subespacio de dimensión

n^{2} - 1

: en

M_{2}

, de dimensión 3.

Mueve λ: la traza de la combinación es la combinación de las trazas.

Integrar es lineal

Sea $C$ el espacio de las funciones continuas en $[0, 1]$ . Comprobar que $I : C \to R$ , $I (f) = \int_{0}^{1} f (t) d t$ , es lineal.

Bien definida. Las funciones continuas en $[0, 1]$ forman un subespacio y toda función continua en un intervalo cerrado es integrable, así que $I$ actúa sobre un espacio vectorial.
La cuenta. La integral de una suma es la suma de integrales y las constantes salen fuera: $I (λ f + μ g) = \int_{0}^{1} (λ f + μ g) = λ \int_{0}^{1} f + μ \int_{0}^{1} g = λ I (f) + μ I (g) . ◼$

I

es lineal y suprayectiva (la constante

c

tiene integral

c

). Su núcleo, las funciones con área neta 0, tiene dimensión infinita.

Gris: f = t² y g = sen(πt). Dorado: f + λg. Las dos formas de calcular su integral dan lo mismo.

¿Lineales o no?

Determinar si son lineales: (i) $f (x, y) = (x - y, 2 x, 0)$ ; (ii) $f (x, y) = (x + 2, y)$ ; (iii) $f (x, y, z) = (x y, z)$ ; (iv) $f (x, y, z) = x - 4 z$ ; (v) $f (a, b) = (a + b) t^{2} + 3 a t$ ; (vi) $f (a, b) = a^{2} t + b$ ; (vii) $f (p (t)) = p (1)$ ; (viii) $f (p (t)) = p^{'} (t) + 1$ ; (ix) $f (p (t)) = p (0) p (t)$ ; (x) $f (p (t)) = t^{2} p (t)$ .

(i) Sí. Es $f (v) = A v$ con $A = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ .
(ii) No. $f (0, 0) = (2, 0) \neq 0$ .
(iii) No. $f (0) = 0$ , pero hay un producto. Con $u = (1, 1, 0)$ : $f (2 u) = (4, 0)$ y $2 f (u) = (2, 0)$ .
(iv) Sí. Es la matriz $1 \times 3$ $(1 0 - 4)$ .
(v) Sí. Los coeficientes $a + b$ y $3 a$ son combinaciones lineales de $a$ y $b$ .
(vi) No. $f (2, 0) = 4 t$ pero $2 f (1, 0) = 2 t$ .
(vii) Sí. $(λ p + μ q) (1) = λ p (1) + μ q (1)$ .
(viii) No. $f (0) = 0^{'} + 1 = 1 \neq 0$ . Sin el $+ 1$ sí lo sería: derivar es lineal.
(ix) No. $f (2 \cdot 1) = 2 \cdot 2 = 4$ pero $2 f (1) = 2$ . Multiplica $p$ por algo que depende de $p$ .
(x) Sí. $t^{2} (λ p + μ q) = λ t^{2} p + μ t^{2} q$ .

Lineales: (i), (iv), (v), (vii) y (x). No lineales: (ii), (iii), (vi), (viii) y (ix).

Elige un apartado. Los polinomios se escriben con sus coeficientes; en (vii), (viii), (ix) y (x) la entrada es un polinomio.

Núcleo, imagen, inyectiva, suprayectiva

Determinar el núcleo y la imagen y decidir si son inyectivas o suprayectivas: (i) $f (x, y) = (x + y, x - y, 2 x)$ ; (ii) $f (x, y, z) = (x - y, y + 2 z)$ ; (iii) $f (x, y, z) = (x + y + z, y + z, z)$ ; (iv) $f (x, y, z) = x - 2 y + 4 z$ .

(i) $R^{2} \to R^{3}$ . $x + y = 0$ y $x - y = 0$ dan $x = y = 0$ : $\ker f = {0}$ , inyectiva. La imagen la generan $f (e_{1}) = (1, 1, 2)$ y $f (e_{2}) = (1, - 1, 0)$ : $Im f = ⟨ (1, 1, 2), (1, - 1, 0) ⟩ = {y : y_{3} = y_{1} + y_{2}} .$ Es un plano de $R^{3}$ : no suprayectiva.
(ii) $R^{3} \to R^{2}$ . $x = y$ e $y = - 2 z$ . Con $z = 1$ : $\ker f = ⟨ (- 2, - 2, 1) ⟩,$ dimensión 1, no inyectiva. Rango $3 - 1 = 2$ : $Im f = R^{2}$ , suprayectiva.
(iii) $R^{3} \to R^{3}$ . Triangular: de abajo arriba $z = 0$ , $y = 0$ , $x = 0$ . Núcleo ${0}$ y rango 3: isomorfismo.
(iv) $R^{3} \to R$ . El núcleo es el plano $x = 2 y - 4 z$ : $\ker f = ⟨ (2, 1, 0), (- 4, 0, 1) ⟩,$ no inyectiva. $f (1, 0, 0) = 1 \neq 0$ : imagen $R$ , suprayectiva.

Inyectivas: (i) y (iii). Suprayectivas: (ii), (iii) y (iv). En todos,

\dim \ker f + rg f

es la dimensión de salida:

0 + 2

1 + 2

0 + 3

2 + 1

Escalona cada matriz paso a paso. Los pivotes (dorado) dan el rango; las columnas sin pivote, el núcleo.

Núcleo con polinomios

Determinar el núcleo y decidir si son inyectivas: (i) $f : R^{3} \to R [t]$ , $f (a, b, c) = (a + b) t^{2} + (b + c) t + (a - c)$ ; (ii) $f : R^{3} \to R [t]$ , $f (a, b, c) = a t^{3} + b t^{2} + (a + c) t + c$ .

Un polinomio es cero cuando lo son todos sus coeficientes: cada coeficiente da una ecuación.

(i) $a + b = 0$ , $b + c = 0$ , $a - c = 0$ . La tercera es la primera menos la segunda, así que sobra. Queda $b = - a$ , $c = a$ : $\ker f = ⟨ (1, - 1, 1) ⟩ .$ No inyectiva: $f (1, - 1, 1) = 0 \cdot t^{2} + 0 \cdot t + 0$ .
(ii) Los coeficientes de $t^{3}$ , $t^{2}$ y el término independiente son $a$ , $b$ y $c$ . Si el polinomio es 0, los tres valen 0. $\ker f = {0}$ : inyectiva.

(i) no es inyectiva, con núcleo de dimensión 1. (ii) es inyectiva.

Cada fila es un coeficiente del polinomio y cada columna una variable. En (i), tres variables menos dos pivotes dejan un núcleo de dimensión 1.

Imagen con polinomios

Determinar la imagen y decidir si son suprayectivas: (i) $f : R_{2} [t] \to R^{4}$ , $f (p) = (p (- 1), p (0), p (1), p (2))$ ; (ii) $f : R_{2} [t] \to R^{2}$ , $f (a t^{2} + b t + c) = (a + b, c)$ .

Si $1, t, t^{2}$ generan $R_{2} [t]$ , sus imágenes generan la imagen.

(i) $f (1) = (1, 1, 1, 1)$ , $f (t) = (- 1, 0, 1, 2)$ , $f (t^{2}) = (1, 0, 1, 4)$ . Rango 3, así que $Im f = ⟨ (1, 1, 1, 1), (- 1, 0, 1, 2), (1, 0, 1, 4) ⟩,$ de dimensión 3 en $R^{4}$ : no suprayectiva. Su ecuación implícita: $- y_{1} + 3 y_{2} - 3 y_{3} + y_{4} = 0.$ Cuatro valores de una parábola en puntos equiespaciados siempre cumplen esa «tercera diferencia cero».
(ii) $f (1) = (0, 1)$ , $f (t) = (1, 0)$ , $f (t^{2}) = (1, 0)$ . Ya están $(1, 0)$ y $(0, 1)$ : $Im f = R^{2},$ suprayectiva. No inyectiva: $f (t^{2} - t) = (0, 0)$ .

(i) no es suprayectiva: su imagen es el hiperplano

- y_{1} + 3 y_{2} - 3 y_{3} + y_{4} = 0

. (ii) sí lo es.

Mueve los coeficientes de la parábola. Sus cuatro valores cambian, pero siempre cumplen la misma ecuación.

Matriz coordenada respecto de dos bases

Calcular la matriz de $f$ respecto de $B$ y $D$ y su rango: (i) $f (x, y) = (x + y, 2 y)$ , $B = ((1, 2), (0, 1))$ , $D = ((1, 1), (1, - 1))$ ; (ii) $f (x, y, z) = (x - z, y + z)$ , $B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1),$ $(1, 1, 0))$ , $D = ((1, 1), (0, 1))$ ; (iii) $f (a t^{2} + b t + c) = (a + c, b)$ , $B = (t^{2} + 1, t - 1, t^{2} + t)$ , $D = ((1, 1), (1, 2))$ .

Receta: columna $j$ = coordenadas en $D$ de $f (b_{j})$ .

(i)

$f (1, 2) = (3, 4)$ y $f (0, 1) = (1, 2)$ . Para $(3, 4) = α (1, 1) + β (1, - 1)$ : $α + β = 3$ , $α - β = 4$ , luego $α = \frac{7}{2}, β = - \frac{1}{2}$ .

M_{B, D} (f) = (\begin{matrix} \frac{7}{2} & \frac{3}{2} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}), rg = 2.

(ii)

Imágenes $(0, 1)$ , $(- 1, 2)$ , $(1, 1)$ . En $D = ((1, 1), (0, 1))$ la primera coordenada es la primera componente y la segunda es $y_{2} - y_{1}$ .

M_{B, D} (f) = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix}), rg = 2.

(iii)

Imágenes $(2, 0)$ , $(- 1, 1)$ , $(1, 1)$ . Para $(2, 0) = α (1, 1) + β (1, 2)$ : $α + β = 2$ , $α + 2 β = 0$ , luego $β = - 2, α = 4$ .

M_{B, D} (f) = (\begin{matrix} 4 & - 3 & 1 \\ - 2 & 2 & 0 \end{matrix}), rg = 2.

Columna a columna: imagen de cada vector de B y sus coordenadas en D.

Un ejercicio completo

Sea $f : R^{3} \to R^{2}$ , $f (x, y, z) = (x - y, y + z)$ . (i) Matriz en las canónicas. (ii) Rango, ¿suprayectiva? (iii) Dimensión del núcleo, ¿inyectiva? (iv) Núcleo en paramétricas y un generador. (v) Imagen en implícitas. (vi) Con $B = ((1, 1), (1, - 1))$ , $C = ((2, 1), (1, 1))$ , $D = ((1, 0), (1, 2))$ y $F = ((1, 0, 1), (1, 1, 0),$ $(0, 1, 1))$ , $G = ((1, 1, 1), (1, 1, 0),$ $(1, 0, 0))$ , calcular las matrices respecto de $F$ y $B$ , de $G$ y $C$ , y de $F$ y $D$ .

(i) Matriz. $A = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) .$
(ii) Rango. Las columnas 1 y 3 son $e_{1}$ y $e_{2}$ : rango 2. Suprayectiva.
(iii) Núcleo. $\dim \ker f = 3 - 2 = 1$ . No inyectiva.
(iv) Núcleo explícito. $x = y$ y $z = - y$ . Con $z = λ$ : $\ker f : {\begin{cases} x = - λ \\ y = - λ \\ z = λ \end{cases} \ker f = ⟨ (- 1, - 1, 1) ⟩ .$
(v) Imagen. Es todo $R^{2}$ : cero ecuaciones implícitas.
(vi) Otras bases. Con $M_{X, Y} (f) = P_{Y}^{- 1} A P_{X}$ : $M_{F, B} = (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \end{matrix}), M_{G, C} = (\begin{matrix} - 2 & - 1 & 1 \\ 4 & 2 & - 1 \end{matrix}), M_{F, D} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & - 2 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{matrix}) .$ Comprobación: $f (0, 1, 1) = (- 1, 2) = \frac{1}{2} (1, 1) - \frac{3}{2} (1, - 1)$ , la tercera columna de $M_{F, B}$ .

Rango 2, suprayectiva, núcleo

⟨ (- 1, - 1, 1) ⟩

, no inyectiva, imagen

R^{2}

. Las tres matrices de (vi) tienen rango 2.

Mueve x por la recta dorada, que es el núcleo trasladado: la salida no se mueve. Las tres matrices de (vi) se recorren en la Parte 2.

Construir f a partir de una base

(i) Comprobar que $B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0))$ es base de $R^{3}$ y dar las coordenadas en $B$ de la base canónica. (ii) Hallar $f : R^{3} \to R^{4}$ lineal con $f (1, 0, 1) = (1, 2, 0, 1)$ , $f (0, 1, 1) = (0, 1, 1, - 1)$ , $f (1, 1, 0) = (3, 1, - 1, 2)$ .

(i) Base. $det (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) = - 2 \neq 0.$ Las columnas de $P_{B}^{- 1}$ dan las coordenadas: $e_{1} = \frac{1}{2} (b_{1} - b_{2} + b_{3}), e_{2} = \frac{1}{2} (- b_{1} + b_{2} + b_{3}), e_{3} = \frac{1}{2} (b_{1} + b_{2} - b_{3}) .$
(ii) Imágenes de la canónica. $f (e_{1}) = \frac{1}{2} ((1, 2, 0, 1) - (0, 1, 1, - 1) + (3, 1, - 1, 2)) = (2, 1, - 1, 2),$ $f (e_{2}) = \frac{1}{2} (- (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 1, - 1) + (3, 1, - 1, 2)) = (1, 0, 0, 0),$ $f (e_{3}) = \frac{1}{2} ((1, 2, 0, 1) + (0, 1, 1, - 1) - (3, 1, - 1, 2)) = (- 1, 1, 1, - 1) .$
Expresión. $f (x, y, z) = (2 x + y - z, x + z, - x + z, 2 x - z) .$ Comprobación: $f (1, 0, 1) = (1, 2, 0, 1)$ .

f (x, y, z) = (2 x + y - z, x + z, - x + z, 2 x - z)

, de rango 3: inyectiva, no suprayectiva.

Mueve x, y, z. Arriba, sus coordenadas en B; abajo, f calculada con esas coordenadas y con la fórmula final.

¿Puede existir?

Para cada par, dar una aplicación lineal inyectiva y otra suprayectiva, o explicar por qué no existen: (i) $R^{5} \to R^{4}$ ; (ii) $R^{2} \to R^{3}$ ; (iii) $R^{4} \to R$ ; (iv) $R^{2} \to R^{2}$ .

Par	Inyectiva	Suprayectiva
(i) $R^{5} \to R^{4}$	imposible: $\dim \ker f \geq 1$	$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$
(ii) $R^{2} \to R^{3}$	$(x, y, 0)$	imposible: $rg f \leq 2 < 3$
(iii) $R^{4} \to R$	imposible: $\dim \ker f \geq 3$	$x_{1}$
(iv) $R^{2} \to R^{2}$	la identidad	la identidad

Bajar de dimensión impide ser inyectiva; subir impide ser suprayectiva.

Cada caso con el mayor rango posible. Lo que queda en discontinuo es lo que ninguna aplicación puede evitar.

Misma fórmula, distintos espacios

Sean $V = {x \in R^{4} : x_{2} = x_{3}}$ y $W = {y \in R^{4} : y_{1} = y_{2}}$ , con bases $B = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0),$ $(0, 0, 0, 1))$ y $D = ((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0),$ $(0, 0, 0, 1))$ . Para $f (x) = (x_{1} + x_{2}, x_{1} + x_{2}, x_{3} - x_{4}, x_{3} + x_{4})$ vista como (i) $R^{4} \to R^{4}$ , (ii) $R^{4} \to W$ , (iii) $V \to R^{4}$ , (iv) $V \to W$ , hallar rango, dimensión del núcleo y si es inyectiva o suprayectiva.

(i) $R^{4} \to R^{4}$ . Filas 1 y 2 iguales: rango 3. $\ker f = ⟨ (1, - 1, 0, 0) ⟩$ . Ni inyectiva ni suprayectiva.
(ii) $R^{4} \to W$ . Las dos primeras componentes de $f (x)$ coinciden, así que $f (x) \in W$ siempre. Rango 3 $= \dim W$ : suprayectiva. Sigue sin ser inyectiva.
(iii) $V \to R^{4}$ . Imágenes de $B$ : $(1, 1, 0, 0)$ , $(1, 1, 1, 1)$ , $(0, 0, - 1, 1)$ , independientes. Rango 3 y núcleo 0: inyectiva, no suprayectiva. El vector $(1, - 1, 0, 0)$ tiene $x_{2} \neq x_{3}$ : no está en $V$ .
(iv) $V \to W$ . Rango 3 $= \dim W$ y núcleo 0: isomorfismo. $M_{B, D} (f) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}), det = 2 \neq 0.$

Rango 3 en los cuatro casos. Núcleo de dimensión 1 en (i) y (ii), y 0 en (iii) y (iv). Suprayectivas: (ii) y (iv). Inyectivas: (iii) y (iv).

OjoUna aplicación no es solo su fórmula: también dónde empieza y dónde acaba.

La misma fórmula en los cuatro casos. Cambia el tamaño de los espacios y con él lo que sobra y lo que falta.

Aplicaciones lineales: núcleo, imagen y matriz en cualquier base, con ejercicios resueltos

Parte 1Qué está pasando

Una aplicación lineal respeta las combinaciones

Cómo pillar una que no es lineal

Núcleo e imagen: qué se pierde y a dónde se llega

Inyectiva y suprayectiva

La imagen de una base lo decide todo

Parte 2Cómo lo hacen las matrices

La matriz en las bases usuales

Laboratorio: núcleo e imagen de cualquier matriz

La matriz respecto de otras bases

Receta para un examen

Parte 3Ejercicios resueltos

La traza es lineal

Integrar es lineal

¿Lineales o no?

Núcleo, imagen, inyectiva, suprayectiva

Núcleo con polinomios

Imagen con polinomios

Matriz coordenada respecto de dos bases

(i)

(ii)

(iii)

Un ejercicio completo

Construir f a partir de una base

¿Puede existir?

Misma fórmula, distintos espacios

Cuéntame en qué punto estás