El campo eléctrico en la PAU de Física pide tres cosas: sumar vectores bien, tratar el potencial como un número con signo y saber cuándo Gauss te da el campo y cuándo no. Aquí tienes lo imprescindible, cinco ejemplos resueltos, una simulación para meter y sacar cargas de una superficie cerrada y un simulacro de 45 minutos con rúbrica.The electric field in PAU Physics asks for three things: adding vectors properly, treating potential as a signed number, and knowing when Gauss gives you the field and when it does not. Here are the must-knows, five worked examples, a simulation to move charges in and out of a closed surface and a 45-minute mock with a rubric.
Es el gemelo del gravitatorio con una diferencia: la carga tiene signo. Por eso aquí hay atracción y repulsión, y el potencial puede ser positivo o negativo.It is the twin of the gravitational field with one difference: charge has a sign. That is why there is attraction and repulsion, and potential can be positive or negative.
K = 9·109 N·m²/C². El campo apunta hacia donde iría una carga positiva de prueba. Una carga negativa siente la fuerza al revés que el campo: mismo E, fuerza opuesta.K = 9·109 N·m²/C². The field points where a positive test charge would go. A negative charge feels the force opposite to the field: same E, opposite force.
El método no cambia nunca: dibujo, vector unitario, intensidad, suma por componentes. La intensidad va delante y ur da la dirección, con módulo 1. Si el enunciado te da E como vector, iguala componente a componente.The method never changes: sketch, unit vector, size, add by components. The size goes in front and ur gives the direction, with magnitude 1. If the question gives E as a vector, equate component by component.
Aquí la Q entra con su signo: una carga negativa da potencial negativo. El campo apunta hacia donde baja el potencial. Una carga positiva soltada en reposo va sola hacia potenciales menores.Here Q goes in with its sign: a negative charge gives negative potential. The field points where potential drops. A positive charge released at rest moves by itself towards lower potential.
α es el ángulo entre E y la normal. En una superficie cerrada la normal apunta hacia fuera: lo que sale suma y lo que entra resta. Unidades: N·m²/C.α is the angle between E and the normal. On a closed surface the normal points outwards: what leaves counts plus and what enters counts minus. Units: N·m²/C.
Vale para cualquier superficie cerrada, de cualquier forma. Qint es la carga neta de dentro, con signos. Una carga de fuera cambia el campo en cada punto de la superficie, pero su flujo total es cero: todo lo que entra por un lado sale por el otro.It holds for any closed surface, of any shape. Qint is the net charge inside, with signs. A charge outside changes the field at every point of the surface, but its total flux is zero: everything that enters on one side leaves on the other.
El truco es elegir una superficie donde E tenga el mismo módulo en todos los puntos y sea perpendicular a ella. Entonces Φ = E·S, y despejas E = Qint/(ε0·S). Sin simetría, Gauss sigue siendo cierto pero no te deja despejar E.The trick is to pick a surface where E has the same size at every point and is perpendicular to it. Then Φ = E·S, and you solve E = Qint/(ε0·S). Without symmetry, Gauss is still true but you cannot solve for E.
| DistribuciónDistribution | Superficie de GaussGaussian surface | ResultadoResult |
|---|---|---|
| Carga puntual o esfera, fueraPoint charge or sphere, outside | Esfera de radio r, S = 4πr²Sphere of radius r, S = 4πr² | E = Q/(4πε0r²) = KQ/r² |
| Esfera conductora o corteza, dentroConducting sphere or shell, inside | Esfera dentro: no encierra cargaSphere inside: it encloses no charge | E = 0 |
| Esfera maciza con carga uniforme, dentroSolid sphere with uniform charge, inside | Esfera de radio r < R, encierra Q·r³/R³Sphere of radius r < R, encloses Q·r³/R³ | E = KQr/R³ |
| Hilo infinito, densidad λInfinite wire, density λ | Cilindro de radio r y largo L; solo cuenta la cara lateral, 2πrLCylinder of radius r and length L; only the side counts, 2πrL | E = λ/(2πε0r) |
| Plano infinito, densidad σInfinite plane, density σ | Cilindro que atraviesa el plano; cuentan las dos tapas, 2ACylinder crossing the plane; both ends count, 2A | E = σ/(2ε0) |
En un conductor en equilibrio, E = 0 dentro y la carga se va a la superficie. El potencial dentro no es cero: es constante e igual al de la superficie.In a conductor at equilibrium, E = 0 inside and the charge moves to the surface. The potential inside is not zero: it is constant and equal to the surface value.
Si dentro hay +q y −q, Qint = 0 y el flujo es cero. Pero el campo en la superficie no es cero: sale por un lado y entra por el otro en la misma cantidad. E = 0 solo se deduce cuando, además, hay simetría, como dentro de una corteza esférica cargada. Pruébalo en la simulación de la parte 3.If there is +q and −q inside, Qint = 0 and the flux is zero. But the field on the surface is not zero: it leaves on one side and enters on the other by the same amount. E = 0 only follows when there is also symmetry, as inside a charged spherical shell. Try it in the simulation in part 3.
Usa K = 9·109 N·m²/C² y ε0 = 8,85·10−12 C²/(N·m²). Intenta cada uno antes de abrir la solución.Use K = 9·109 N·m²/C² and ε0 = 8.85·10−12 C²/(N·m²). Try each one before you open the solution.
Dos cargas iguales q están en (0, 2) y (0, −2) m. Halla q para que el campo en P(3, 0) sea E = 4·10³ i N/C.Two equal charges q sit at (0, 2) and (0, −2) m. Find q so that the field at P(3, 0) is E = 4·10³ i N/C.
q ≈ 3,47·10−6 C = 3,47 μC.q ≈ 3.47·10−6 C = 3.47 μC.
Una carga de 4 μC está en el origen y otra de −2 μC en (4, 0) m. Halla el potencial en A(0, 3) y en B(4, 3) y el trabajo del campo al llevar una carga de 2 μC de A a B.A 4 μC charge sits at the origin and a −2 μC charge at (4, 0) m. Find the potential at A(0, 3) and at B(4, 3), and the work done by the field in taking a 2 μC charge from A to B.
Sale positivo: una carga positiva va sola hacia el potencial menor y el campo hace el trabajo.It comes out positive: a positive charge moves by itself towards lower potential and the field does the work.
Una esfera conductora de radio 10 cm tiene una carga de 5 nC. Halla E a 5 cm, a 10 cm y a 30 cm del centro, y el potencial dentro.A conducting sphere of radius 10 cm carries 5 nC. Find E at 5 cm, 10 cm and 30 cm from the centre, and the potential inside.
E = 0 dentro, pero V = 450 V, no cero.E = 0 inside, but V = 450 V, not zero.
Un hilo muy largo tiene una densidad de carga λ = 2 μC/m. Deduce con Gauss el campo a 20 cm del hilo.A very long wire has a charge density λ = 2 μC/m. Use Gauss to find the field 20 cm from the wire.
E ≈ 1,8·105 N/C, hacia fuera del hilo.E ≈ 1.8·105 N/C, pointing away from the wire.
Hay tres cargas: q1 = +3 nC, q2 = −5 nC y q3 = +2 nC. La superficie S1 encierra q1 y q2. S2 encierra q1 y q3. S3 encierra las tres. Halla el flujo por cada una. ¿Es E = 0 en S3?There are three charges: q1 = +3 nC, q2 = −5 nC and q3 = +2 nC. Surface S1 encloses q1 and q2. S2 encloses q1 and q3. S3 encloses all three. Find the flux through each one. Is E = 0 on S3?
En S3 el flujo es cero, pero E no: las tres cargas crean campo en cada punto de la superficie. No hay simetría, así que Gauss no te deja decir nada de E.On S3 the flux is zero, but E is not: the three charges create a field at every point of the surface. There is no symmetry, so Gauss tells you nothing about E.
El círculo discontinuo es el corte de una esfera de Gauss. Arrastra las cargas para meterlas y sacarlas. Arrastra la esfera para moverla y su borde para cambiar el radio. Mira qué cambia en el flujo y qué cambia en el campo.The dashed circle is a slice through a Gaussian sphere. Drag the charges to move them in and out. Drag the sphere to move it and its edge to change the radius. Watch what changes in the flux and what changes in the field.
Cada carga vale ±1 μC. Las flechas sobre la superficie son el campo en ese punto: verdes si sale, ámbar si entra. El flujo se calcula de dos formas: con Gauss, Qint/ε0, y sumando E·dS punto a punto por toda la esfera. Tienen que coincidir.Each charge is ±1 μC. The arrows on the surface are the field at that point: green if it leaves, amber if it enters. The flux is worked out two ways: with Gauss, Qint/ε0, and by adding E·dS point by point over the whole sphere. They must agree.
La simulación necesita JavaScript. Sin él, la idea es esta: el flujo solo depende de la carga de dentro, y el campo depende de todas.The simulation needs JavaScript. Without it, the idea is this: the flux depends only on the charge inside, and the field depends on all of them.
Rojo: carga positiva. Azul: carga negativa. Prueba esto: pon +q y −q dentro y mira las flechas; después saca una carga y vuelve a meterla por otro lado; por último elige la corteza y mueve la esfera de Gauss dentro y fuera de ella.Red: positive charge. Blue: negative charge. Try this: put +q and −q inside and look at the arrows; then take a charge out and bring it back in from another side; finally pick the shell and move the Gaussian sphere inside and outside it.
Tres ejercicios, 45 minutos, con calculadora. Son ejercicios propios del tipo de los que salen, no enunciados de un examen real. Usa K = 9·109 N·m²/C², ε0 = 8,85·10−12 C²/(N·m²), e = 1,6·10−19 C y me = 9,11·10−31 kg.Three exercises, 45 minutes, with a calculator. These are our own exercises of the usual type, not questions from a real exam. Use K = 9·109 N·m²/C², ε0 = 8.85·10−12 C²/(N·m²), e = 1.6·10−19 C and me = 9.11·10−31 kg.
Una carga de +5 nC está en el origen y otra de −5 nC en (6, 0) m.A +5 nC charge sits at the origin and a −5 nC charge at (6, 0) m.
Las dos distancias valen 5 m, así que los dos campos miden K·5·10−9/25 = 1,8 N/C. E1 sale de la positiva: 1,8·(3, 4)/5 = (1,08; 1,44). E2 va hacia la negativa: 1,8·(3, −4)/5 = (1,08; −1,44). E = (2,16; 0) N/C, módulo 2,16 N/C.Both distances are 5 m, so both fields measure K·5·10−9/25 = 1.8 N/C. E1 points away from the positive charge: 1.8·(3, 4)/5 = (1.08, 1.44). E2 points towards the negative one: 1.8·(3, −4)/5 = (1.08, −1.44). E = (2.16, 0) N/C, magnitude 2.16 N/C.
V = K·(5·10−9/5 − 5·10−9/5) = 0 V. P está en la mediatriz: a la misma distancia de dos cargas opuestas. Que V = 0 no implica E = 0, como se ve en a).V = K·(5·10−9/5 − 5·10−9/5) = 0 V. P lies on the perpendicular bisector: the same distance from two opposite charges. V = 0 does not mean E = 0, as part a) shows.
En A: distancias √52 ≈ 7,21 m y 4 m. VA = 45·(1/7,21 − 1/4) ≈ −5,01 V. W = q·(VP − VA) = 2·10−9·5,01 ≈ 1,0·10−8 J. Positivo: la carga positiva baja de potencial y el campo hace el trabajo.At A: distances √52 ≈ 7.21 m and 4 m. VA = 45·(1/7.21 − 1/4) ≈ −5.01 V. W = q·(VP − VA) = 2·10−9·5.01 ≈ 1.0·10−8 J. Positive: the positive charge drops in potential and the field does the work.
Una esfera conductora de radio 20 cm está a un potencial de 900 V, con V = 0 en el infinito.A conducting sphere of radius 20 cm is at a potential of 900 V, with V = 0 at infinity.
V = KQ/R, luego Q = V·R/K = 900·0,2/9·109 = 2·10−8 C = 20 nC.V = KQ/R, so Q = V·R/K = 900·0.2/9·109 = 2·10−8 C = 20 nC.
A 10 cm, la esfera de Gauss no encierra carga y por simetría E = 0. V = 900 V, el de la superficie. A 40 cm encierra los 20 nC: E = KQ/r² = 1125 N/C y V = KQ/r = 450 V.At 10 cm, the Gaussian sphere encloses no charge and by symmetry E = 0. V = 900 V, the surface value. At 40 cm it encloses the 20 nC: E = KQ/r² = 1125 N/C and V = KQ/r = 450 V.
Φ = Q/ε0 = 2·10−8/8,85·10−12 ≈ 2,26·10³ N·m²/C. No depende del radio, siempre que encierre la esfera.Φ = Q/ε0 = 2·10−8/8.85·10−12 ≈ 2.26·10³ N·m²/C. It does not depend on the radius, as long as it encloses the sphere.
Un plano muy grande tiene una densidad de carga σ = 8,85·10−9 C/m². Se suelta un electrón en reposo a 10 cm del plano.A very large plane carries a charge density σ = 8.85·10−9 C/m². An electron is released at rest 10 cm from the plane.
Cilindro que atraviesa el plano, con tapas de área A. Solo hay flujo por las dos tapas: Φ = 2EA. Encierra σA. Gauss: 2EA = σA/ε0, luego E = σ/(2ε0) = 500 N/C, perpendicular al plano y hacia fuera.A cylinder crossing the plane, with ends of area A. There is flux only through the two ends: Φ = 2EA. It encloses σA. Gauss: 2EA = σA/ε0, so E = σ/(2ε0) = 500 N/C, perpendicular to the plane and pointing away.
F = e·E = 8·10−17 N. a = F/me ≈ 8,78·1013 m/s², hacia el plano: el electrón es negativo y va contra el campo.F = e·E = 8·10−17 N. a = F/me ≈ 8.78·1013 m/s², towards the plane: the electron is negative and moves against the field.
El campo es uniforme: ΔV = E·d = 50 V. Energía: e·ΔV = ½mev², luego v ≈ 4,19·106 m/s. Sale lo mismo con v² = 2ad.The field is uniform: ΔV = E·d = 50 V. Energy: e·ΔV = ½mev², so v ≈ 4.19·106 m/s. You get the same from v² = 2ad.
La rúbrica es nuestra y orientativa: no son los criterios oficiales de la PAU.The rubric is ours and is only a guide: these are not the official PAU criteria.
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