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PAU Madrid · Matemáticas II y Matemáticas CCSS II · ÁlgebraPAU Madrid · Maths II and Social Sciences Maths II · Algebra

Matrices para la PAU de Matemáticas II y CCSS: lo imprescindible, simulaciones y cuatro simulacrosMatrices for the PAU, Maths II and Social Sciences Maths: the must-knows, labs and four mock exams

Todo el bloque de matrices en un sitio, para Matemáticas II de ciencias y para Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II. Aprende primero lo imprescindible, juega con las simulaciones hasta que el rango y las combinaciones lineales te parezcan obvios, y luego haz cuatro simulacros cronometrados y corrígelos tú con una rúbrica basada en los criterios de la PAU.Everything from the matrices block in one place, for science Maths II and for Social Sciences Maths II. Learn the must-knows first, play with the labs until rank and linear combinations feel obvious, then sit four timed mock exams and mark them yourself with a rubric based on the PAU criteria.

1Lo imprescindibleThe must-knows 2SimulacionesLabs 3Simulacros de 60 minutos60-minute mock exams 4Corrígete túMark it yourself
Parte 1Part 1

Lo imprescindibleThe must-knows

Si solo te quedas con una cosa, que sea esta tabla. Todas las preguntas de matrices del examen son una de estas cinco casillas disfrazada.If you only remember one thing, remember this table. Every exam question on matrices is one of these five boxes in disguise. The Spanish words in the small tags are the ones you will read in the exam.

Para una matriz cuadrada A (n × n), estas cosas van siempre juntasFor a square matrix A (n × n), these always go together

DeterminanteDeterminant|A| ≠ 0el número que sale con Sarrusthe number you get with Sarrus
InversaInverseExiste A−1A−1 existsA es invertibleA is invertible invertible
RangoRankrg(A) = nrango máximomaximum rank rango
FilasRowsTodas independientesAll independentninguna es combinación de las demásno row is a combination of the others
Sistema AX = BSystem AX = BUna soluciónOne solutionSCD, compatible determinadoSCD compatible determinado
DeterminanteDeterminant|A| = 0pasa con los valores "malos" del parámetrohappens for the "bad" values of the parameter
InversaInverseNo hay A−1No A−1no es invertiblenot invertible
RangoRankrg(A) < nbusca un menor más pequeño ≠ 0look for a smaller minor ≠ 0
FilasRowsAl menos una dependienteAt least one dependentalguna fila = λ·fila + μ·filasome row = λ·row + μ·row dependiente
Sistema AX = BSystem AX = BSCI o SISCI or SIinfinitas soluciones, o ningunainfinitely many solutions, or none
01 · dimensión01 · size

Una matriz es un número con dimensiónA matrix is a number with dimensions dimensión

La dimensión es siempre filas × columnas. A3×2 tiene 3 filas y 2 columnas. El elemento aij está en la fila i, columna j.Size is always rows × columns. A3×2 has 3 rows (filas) and 2 columns (columnas). Entry aij sits in row i, column j.

A =140−235es 3 × 2is 3 × 2
02 · producto02 · product

A·B solo existe si columnas de A = filas de BA·B only exists if columns of A = rows of B

(m × n) · (n × p) = m × p

Los números de dentro tienen que coincidir y los de fuera dan la dimensión del resultado. Cada elemento de A·B es una fila de A por una columna de B: multiplicas por parejas y sumas.The inner numbers must match, the outer numbers give the size of the result. Each entry of A·B is a row of A times a column of B: multiply in pairs and add.

En general A·B ≠ B·A. El orden importa siempre.A·B ≠ B·A in general. Order always matters.
03 · identidad e inversa03 · identity and inverse

I es el "1" de las matrices y A−1 deshace AI is the "1" of matrices, A−1 undoes A

I =100010001A·I = I·A = A

Igual que 7·(1/7) = 1, la inversa cumple A·A−1 = A−1·A = I. Las matrices no se dividen: nunca escribas B/A.Just as 7·(1/7) = 1, the inverse satisfies A·A−1 = A−1·A = I. There is no division of matrices: never write B/A.

Comprueba siempre una inversa: multiplica A·A−1 y te tiene que dar I.Always check an inverse: multiply A·A−1 and you must get I.

04 · determinante04 · determinant

El determinante es un númeroThe determinant is a number determinante

abcd= a·d − b·c
abcdefghi= aei + dhc + gbf − gec − afh − dbi

Es Sarrus: tres diagonales hacia abajo con +, tres hacia arriba con −. Una matriz es una tabla; su determinante |A| es un solo número.That is Sarrus: three diagonals down with +, three diagonals up with −. A matrix is a table, its determinant |A| is one single number.

05 · invertible05 · invertible

A tiene inversa exactamente cuando |A| ≠ 0A has an inverse exactly when |A| ≠ 0

InvertibleInvertible ⇔ |A| ≠ 0  ·  A−1 = 1|A| · (Adj A)T

Con un parámetro k: la pregunta del 90 % de las PAUWith a parameter k: the 90% PAU question

  1. Calcula |A| en función de k.Compute |A| in terms of k.
  2. Resuelve |A| = 0. Si es de tercer grado, Ruffini con los divisores del término independiente.Solve |A| = 0. If it is a cubic, use Ruffini with the divisors of the constant term.
  3. Escribe la conclusión entera: "Si k = 1 o k = −2, |A| = 0 y A no tiene inversa. Para cualquier otro k, A es invertible."Write the conclusion both ways: "If k = 1 or k = −2, |A| = 0 and A has no inverse. For every other k, A is invertible."

Cómo se calcula la inversaComputing the inverse

  1. |A| (si sale 0, para: no hay inversa).|A| (if it is 0, stop: no inverse).
  2. Adjunta: cada elemento es el menor 2×2 que queda al tapar su fila y su columna, con el tablero de signos +−+−+−+−+.Adjugate: each entry is the 2×2 minor that remains when you cover its row and column, with the sign chessboard +−+−+−+−+.
  3. Trasponla (las filas pasan a columnas).Transpose it (rows become columns).
  4. Divide entre |A|.Divide by |A|.

Atajo 2×2: intercambia a y d, cambia el signo de b y c, divide entre |A|.2×2 shortcut: swap a and d, change the sign of b and c, divide by |A|.

06 · combinación lineal06 · linear combination

Construir una fila con otras filasBuilding a row out of other rows combinación lineal

Una fila es combinación lineal de otras si puedes obtenerla multiplicándolas por números y sumando:A row is a linear combination of other rows if you can get it by multiplying them by numbers and adding:

F3 = λ·F1 + μ·F2
110010120F3 = F1 + F2, así que F3 es dependiente: no aporta información nueva.F3 = F1 + F2, so F3 is dependent: it adds no new information.

Piensa en mezclar pintura: si un color sale mezclando los otros dos, no hacía falta comprarlo.Think of mixing paint: if a colour can be mixed from the other two, you did not need to buy it.

07 · dependencia07 · dependence

Tres formas de detectar una fila dependienteThree ways to detect a dependent row

  1. A ojo: una fila de ceros, dos filas iguales, una fila múltiplo de otra, o F3 = F1 + F2.By eye: a row of zeros, two equal rows, a row that is a multiple of another, or F3 = F1 + F2.
  2. Determinante: |A| = 0 significa que al menos una fila (y una columna) es dependiente. |A| ≠ 0 significa que todas son independientes.Determinant: |A| = 0 means at least one row (and one column) is dependent. |A| ≠ 0 means all are independent.
  3. Gauss: si con las demás puedes convertir una fila en todo ceros, era dependiente.Gauss: if you can turn a row into all zeros using the others, it was dependent.
121242F2 − 2F1 →121000
08 · rango08 · rank

Rango = número de filas independientesRank = number of independent rows rango

rango = cuántas filas (o columnas) son de verdad independientesrank = how many rows (or columns) are really independent

Filas y columnas dan siempre el mismo rango. Para una matriz 3×3:Rows and columns always give the same rank. For a 3×3 matrix:

  1. |A| ≠ 0 → rango 3.|A| ≠ 0 → rank 3.
  2. |A| = 0 → busca un menor 2×2 ≠ 0 → rango 2.|A| = 0 → find one 2×2 minor ≠ 0 → rank 2.
  3. Todos los menores 2×2 son 0 (y la matriz no es toda ceros) → rango 1.All 2×2 minors are 0 (but the matrix is not all zeros) → rank 1.
09 · ecuaciones matriciales09 · matrix equations

Despeja X primero y luego mete los númerosIsolate X first, then put numbers in

A·X + B = C → A·X = C − B → X = A−1·(C − B)
  1. La inversa va del mismo lado que la matriz que está pegada a X, en los dos miembros. A a la izquierda de X → A−1 a la izquierda.The inverse goes on the same side as the matrix next to X, on both sides of the equation. A on the left of X → A−1 on the left.
  2. Al sacar X factor común, los números pasan a ser número·I: A·X − 3X = (A − 3I)·X. Nunca escribas A − 3.When you take X out as a common factor, numbers become number·I: A·X − 3X = (A − 3I)·X. Never write A − 3.
  3. Comprueba que la matriz que inviertes tiene determinante ≠ 0. Y dilo con palabras.Check that the matrix you invert has determinant ≠ 0. Say it in words.
10 · potencias10 · powers

El determinante de una potenciaThe determinant of a power

|Ak| = |A|k

Así que A2026 es invertible exactamente cuando |A| ≠ 0. Para responder eso nunca hace falta calcular A2026.So A2026 is invertible exactly when |A| ≠ 0. You never need to compute A2026 to answer that.

Seis fallos que quitan puntos todos los añosSix mistakes that cost points every year

  • Escribir A·B = B·A, o pasar A−1 al lado equivocado: X = B·A−1 no es lo mismo que A−1·B.Writing A·B = B·A, or moving A−1 to the wrong side: X = B·A−1 is not the same as A−1·B.
  • Escribir A − 3 en lugar de A − 3I al sacar X factor común.Writing A − 3 instead of A − 3I when you factor X.
  • Invertir una matriz sin demostrar antes que su determinante no es 0.Inverting a matrix without first showing its determinant is not 0.
  • Olvidar el tablero de signos (+ − +) en la adjunta.Forgetting the sign chessboard (+ − +) in the adjugate.
  • Olvidar trasponer la adjunta antes de dividir entre |A|.Forgetting to transpose the adjugate before dividing by |A|.
  • Dar los valores de k sin la frase que responde a la pregunta ("así que A es invertible para todo k salvo...").Giving the values of k without the sentence that answers the question ("so A is invertible for every k except...").
Parte 2Part 2

SimulacionesLabs

Cambia los números y mira qué pasa. Cada simulación enseña funcionando una idea de lo imprescindible.Change the numbers and watch what happens. Each lab shows one idea from the must-knows working live.

Simulación 1 · combinación lineal y determinanteLab 1 · linear combination and determinant

Llega al objetivo con λ·u + μ·vReach the target with λ·u + μ·v

u y v son las dos columnas de una matriz 2×2. Mueve λ y μ hasta que la flecha roja caiga en el objetivo naranja. Después pulsa Hazlos dependientes: el área sombreada (que es |det|) se aplasta en una recta y de repente casi ningún objetivo se puede alcanzar.u and v are the two columns of a 2×2 matrix. Move λ and μ to land the red arrow on the orange target. Then press Make them dependent: the shaded area (which is |det|) collapses to a line, and suddenly most targets are impossible to reach.

u = (, )
v = (, )
Simulación 2 · rangoLab 2 · rank

Rango, dependencia y Gauss en cualquier matriz 3×3Rank, dependence and Gauss on any 3×3 matrix

Escribe una matriz (vale con fracciones como 1/2) o elige un ejemplo de clase. Calcula el determinante, el rango y los pasos de Gauss, y si una fila es dependiente te dice exactamente con qué combinación se construye.Type a matrix (fractions like 1/2 are fine) or pick an example from class. The lab computes the determinant, the rank, the Gauss steps, and if a row is dependent it tells you exactly which combination builds it.

Simulación 3 · productoLab 3 · product

¿Se pueden multiplicar? Fila por columnaCan I multiply these? Row times column

Elige las dimensiones para comprobar la regla y luego pulsa cualquier elemento del resultado para ver qué fila y qué columna lo construyen.Pick the sizes to check the rule, then click any entry of the result to see which row and which column build it.

A esA is× y B esand B is×
Pulsa un elemento de A·B.Click an entry of A·B.
Simulación 4 · inversaLab 4 · inverse

La inversa paso a paso, para comprobar tus deberesInverse step by step, to check your homework

Haz primero la inversa en papel y luego escribe aquí la matriz y compara cada paso: determinante, adjunta con signos, traspuesta y división.Do the inverse on paper first, then type the matrix here and compare each step: determinant, adjugate with signs, transpose, divide.

Simulación 5 · ecuaciones matricialesLab 5 · matrix equations

Despeja X: ¿cuál es la buena?Isolate X: which one is right?

Los once tipos de ecuación que salen siempre. Elige la X correcta. A, B, C y D son invertibles cuando hace falta.The eleven equation types that always come up. Choose the correct X. A, B, C and D are invertible when needed.

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Parte 3Part 3

Conviene saberloGood to know

Menos central, pero aparece dentro de las preguntas de examen. Apréndelo después de lo imprescindible.Less central, but they appear inside exam questions. Learn them after the must-knows.

TraspuestaTranspose traspuesta

AT: las filas pasan a ser columnas. Si A es 2×3, AT es 3×2.AT: rows become columns. If A is 2×3, AT is 3×2.

  • (AT)T = A yand (A + B)T = AT + BT
  • (A·B)T = BT·AT (el orden se da la vuelta)(A·B)T = BT·AT (the order flips)
  • Matriz simétrica: AT = A. Entonces su inversa también es simétrica.Symmetric matrix: AT = A. Then its inverse is symmetric too.

Propiedades del determinanteDeterminant properties

  • Una fila (o columna) de ceros → |A| = 0.A row (or column) of zeros → |A| = 0.
  • Dos filas iguales o proporcionales → |A| = 0.Two equal or proportional rows → |A| = 0.
  • |A·B| = |A|·|B| yand |AT| = |A|.
  • |A−1| = 1 / |A|.
  • |k·A| = kn·|A| para una matriz n×n (k3 si es 3×3).|k·A| = kn·|A| for an n×n matrix (k3 for 3×3).

Potencias An: busca el patrónPowers An: look for the pattern

Calcula A2, A3, A4 hasta que algo se repita. Patrones típicos:Compute A2, A3, A4 until something repeats. Typical patterns:

  • A2 = I → las potencias pares son I y las impares A.A2 = I → even powers are I, odd powers are A.
  • 1101n = 1n01
  • De clase: 010101010 da A3 = 2A, así que A9 = 16A y A2025 = 21012·A.From class: 010101010 gives A3 = 2A, so A9 = 16A and A2025 = 21012·A.
  • Un ciclo cada 4: divide el exponente entre 4 y usa el resto.A cycle every 4: divide the exponent by 4 and use the remainder.

Propiedades de la inversaInverse properties

  • (A·B)−1 = B−1·A−1 (el orden se da la vuelta)(A·B)−1 = B−1·A−1 (the order flips)
  • (A−1)−1 = A yand (AT)−1 = (A−1)T
  • Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa.Only square matrices can have an inverse.

Sistemas en forma matricialSystems in matrix form

x + y + z = 62x − y + z = 33x + 2y − z = 4→1112−1132−1xyz=634

A·X = B. Tres formas de resolverlo: Gauss, Cramer (x = |Ax| / |A|) o X = A−1·B. Aquí |A| = 11 y la solución es x = 1, y = 2, z = 3.A·X = B. Three ways to solve: Gauss, Cramer (x = |Ax| / |A|), or X = A−1·B. Here |A| = 11 and the solution is x = 1, y = 2, z = 3.

Cómo leer la última fila después de GaussReading the last row after Gauss

Última filaLast rowTipoTypeQué significaMeaning
(0 0 c | d), c ≠ 0SCDuna soluciónone solution
(0 0 0 | 0)SCIinfinitas, llama z = λinfinitely many, call z = λ
(0 0 0 | d), d ≠ 0SI0 = d es imposible, no hay solución0 = d is impossible, no solution

La misma idea con rangos (Rouché): rg A = rg A* = número de incógnitas → SCD; rg A = rg A* < incógnitas → SCI; rg A ≠ rg A* → SI.Same idea with ranks (Rouché): rank A = rank A* = number of unknowns → SCD; rank A = rank A* < unknowns → SCI; rank A ≠ rank A* → SI.

Parte 4Part 4

Cuatro simulacrosFour mock exams

Estilo PAU de Madrid, solo matrices. Cada uno: 5 ejercicios de 2 puntos, 60 minutos. El examen real da 90 minutos para todos los bloques, así que si los terminas en una hora, la pregunta de matrices te va a parecer fácil. Sin apuntes, con calculadora científica, escribiendo todos los pasos. Pon el reloj y luego corrígete con la rúbrica de cada ejercicio.PAU Madrid style, matrices only. Each one: 5 exercises, 2 points each, 60 minutes. The real exam gives 90 minutes for all blocks, so if you finish these in an hour, the matrices question will feel easy. No notes, a scientific calculator is fine, write every step. Start the clock, then mark yourself with the rubric under each exercise.

60:00
NotaScore 0,0 / 10

Ejercicio 1Exercise 1

2 puntos2 points
DadasGiven A =2−150, B =0−311, C =21, D =21
  1. a)(0,8 puntos) Indica cuáles de estos productos se pueden calcular y la dimensión del resultado: A·B, A·D, D·A, C·D, D·C. Justifícalo.(0.8 points) Say which of these products can be computed and give the size of the result: A·B, A·D, D·A, C·D, D·C. Justify.
  2. b)(1,2 puntos) Calcula A·B − B·A. ¿Qué te dice el resultado sobre el producto de matrices?(1.2 points) Compute A·B − B·A. What does the result tell you about the product of matrices?
Solución y correcciónSolution and marking
a)

Dimensiones: A 2×2, B 2×2, C 2×1, D 1×2. Un producto existe cuando columnas del primero = filas del segundo.Sizes: A 2×2, B 2×2, C 2×1, D 1×2. A product exists when columns of the first = rows of the second.

A·B: (2×2)(2×2) → 2×2 ✓. A·D: (2×2)(1×2), 2 ≠ 1 ✗. D·A: (1×2)(2×2) → 1×2 ✓. C·D: (2×1)(1×2) → 2×2 ✓. D·C: (1×2)(2×1) → 1×1 ✓.

b)
A·B =−1−70−15B·A =−1507−1A·B − B·A =14−7−7−14

No sale la matriz nula, así que A·B ≠ B·A: el producto de matrices no es conmutativo.The result is not the zero matrix, so A·B ≠ B·A: the product of matrices is not commutative.

RúbricaRubric0 / 2

Ejercicio 2Exercise 2

2 puntos2 points
Se consideraConsider A =k111k111k donde k es un número real.where k is a real number.
  1. a)(1 punto) Halla los valores de k para los que A tiene inversa.(1 point) Find the values of k for which A has an inverse.
  2. b)(1 punto) Para k = 2, calcula A−1.(1 point) For k = 2, compute A−1.
Solución y correcciónSolution and marking
a)

|A| = k³ + 1 + 1 − k − k − k = k³ − 3k + 2. Ruffini con k = 1: k³ − 3k + 2 = (k − 1)(k² + k − 2) = (k − 1)²(k + 2).|A| = k³ + 1 + 1 − k − k − k = k³ − 3k + 2. Ruffini with k = 1 gives k³ − 3k + 2 = (k − 1)(k² + k − 2) = (k − 1)²(k + 2).

|A| = 0 ⇔ k = 1 o k = −2. A es invertible para todo k salvo k = 1 y k = −2.|A| = 0 ⇔ k = 1 or k = −2. A is invertible for every k except k = 1 and k = −2.

b)

k = 2: |A| = 8 − 6 + 2 = 4 ≠ 0. La adjunta es simétrica, así que trasponer no cambia nada:k = 2: |A| = 8 − 6 + 2 = 4 ≠ 0. Adjugate (it is symmetric, so transposing changes nothing):

(Adj A)T =3−1−1−13−1−1−13A−1 = 143−1−1−13−1−1−13=34−14−14−1434−14−14−1434
RúbricaRubric0 / 2

Ejercicio 3Exercise 3

2 puntos2 points
SeanLet A =3114 yand B =1203. Resuelve la ecuación matricialSolve the matrix equation X·A − 2X = B.
  1. a)(0,8 puntos) Despeja X en función de A, B e I y justifica que el paso se puede hacer.(0.8 points) Isolate X in terms of A, B and I, and justify that the step is allowed.
  2. b)(1,2 puntos) Calcula X.(1.2 points) Compute X.
Solución y correcciónSolution and marking
a)

X está a la izquierda de A, así que se saca factor común por la izquierda: X·(A − 2I) = B. Multiplica por (A − 2I)−1 por la derecha en los dos miembros: X = B·(A − 2I)−1. Se puede porque |A − 2I| = 1 ≠ 0 (ver b).X is on the left of A, so factor it out on the left: X·(A − 2I) = B. Multiply by (A − 2I)−1 on the right of both sides: X = B·(A − 2I)−1. Allowed because |A − 2I| = 1 ≠ 0 (see b).

b)
A − 2I =1112|A − 2I| = 1(A − 2I)−1 =2−1−11
X =12032−1−11=01−33
RúbricaRubric0 / 2

Ejercicio 4Exercise 4

2 puntos2 points
Se consideraConsider M =1a1a1111a donde a es un número real.where a is a real number.
  1. a)(0,8 puntos) Calcula |M| y los valores de a que lo anulan.(0.8 points) Compute |M| and find the values of a that make it zero.
  2. b)(1,2 puntos) Estudia el rango de M según los valores de a.(1.2 points) Discuss the rank of M depending on a.
Solución y correcciónSolution and marking
a)

Sarrus: |M| = a + a + a − 1 − a³ − 1 = −a³ + 3a − 2 = −(a − 1)²(a + 2). Se anula para a = 1 y a = −2.Sarrus: |M| = a + a + a − 1 − a³ − 1 = −a³ + 3a − 2 = −(a − 1)²(a + 2). Zero for a = 1 and a = −2.

b)

Si a ≠ 1 y a ≠ −2: |M| ≠ 0, así que rango 3.If a ≠ 1 and a ≠ −2: |M| ≠ 0, so rank 3.

Si a = 1: todos los elementos valen 1, las filas son iguales y todos los menores 2×2 son 0, así que rango 1.If a = 1: every entry is 1, all rows are equal, every 2×2 minor is 0, so rank 1.

Si a = −2:If a = −2:1−21−21111−2|M| = 0 y|M| = 0 and1−2−21= 1 − 4 = −3 ≠ 0, así que rango 2.= 1 − 4 = −3 ≠ 0, so rank 2.
RúbricaRubric0 / 2

Ejercicio 5Exercise 5 en contextoin context

2 puntos2 points

Una cadena tiene tres cafeterías. El sábado pasado vendieron estas unidades (filas: cafetería 1, 2, 3; columnas: café, té, zumo):A chain has three cafés. Last Saturday they sold these units (rows: café 1, 2, 3; columns: coffee, tea, juice):

V =401020302010501525Precios: café 1,50 €, té 1,20 €, zumo 2,00 €.Prices: coffee 1.50 €, tea 1.20 €, juice 2.00 €.
  1. a)(0,6 puntos) Escribe la matriz de precios P para que V·P se pueda calcular. Calcula V·P y explica qué significa.(0.6 points) Write the price matrix P so that V·P can be computed. Compute V·P and explain what it means.
  2. b)(1,4 puntos) En enero los precios pasan a ser x (café), y (té), z (zumo). Se sabe que 2 cafés y 1 té cuestan 4,50 €, 1 café, 1 té y 1 zumo cuestan 5,00 €, y 1 café y 2 zumos cuestan 5,80 €. Escribe el sistema en forma matricial A·X = B, justifica que tiene una única solución y halla los nuevos precios.(1.4 points) In January the prices change to x (coffee), y (tea), z (juice). We know that 2 coffees and 1 tea cost 4.50 €, 1 coffee, 1 tea and 1 juice cost 5.00 €, and 1 coffee and 2 juices cost 5.80 €. Write the system in matrix form A·X = B, justify that it has exactly one solution and find the new prices.
Solución y correcciónSolution and marking
a)
V es 3×3, así que P tiene que ser 3×1:V is 3×3, so P must be 3×1:P =1,51.51,21.22V·P =11289143

Cada elemento es lo que facturó una cafetería el sábado: 112 €, 89 € y 143 €.Each entry is the Saturday revenue of one café: 112 €, 89 € and 143 €.

b)
2x + y = 4,52x + y = 4.5x + y + z = 5x + 2z = 5,8x + 2z = 5.8210111102xyz=4,54.555,85.8

|A| = 3 ≠ 0, así que rg A = 3 = número de incógnitas: SCD, una solución. Primera ecuación menos segunda: x − z = −0,5. Con x + 2z = 5,8: 3z = 6,3, z = 2,10, x = 1,60, y = 4,5 − 3,2 = 1,30.|A| = 3 ≠ 0, so rank A = 3 = number of unknowns: SCD, one solution. First equation minus second: x − z = −0.5. With x + 2z = 5.8: 3z = 6.3, z = 2.10, x = 1.60, y = 4.5 − 3.2 = 1.30.

Café 1,60 €, té 1,30 €, zumo 2,10 €.Coffee 1.60 €, tea 1.30 €, juice 2.10 €.

RúbricaRubric0 / 2
Parte 5Part 5

Cómo te corrige la PAU y cómo corregirte túHow the PAU marks you, and how to mark yourself

Son los criterios generales de corrección que aplica la PAU de Madrid en Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II, escritos como reglas para usarlas con la rúbrica de cada ejercicio. En las matrices te sirven igual si haces Matemáticas II.These are the general correction criteria the Madrid PAU applies in Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II, written as rules you can use with the rubric under each exercise. For matrices they work just as well if you take Maths II.

  1. Justifícalo todo. Un resultado correcto sin razonamiento vale 0. El corrector puntúa lo que está escrito, no lo que tenías en la cabeza.Justify everything. A correct result with no reasoning scores 0. The examiner marks what is written, not what you had in your head.
  2. Cualquier método correcto vale la nota entera. Gauss, Cramer o A−1·B para sistemas; Sarrus o desarrollo para determinantes. La rúbrica describe un camino, pero los puntos van a cualquiera válido.Any correct method gets full marks. Gauss, Cramer or A−1·B for systems; Sarrus or expansion for determinants. The rubric describes one route, the points go to any valid one.
  3. Error de cálculo o error de concepto. Un despiste (3·4 = 11) solo cuesta ese paso: lo que viene después se puntúa si está bien hecho con tu número equivocado, siempre que el despiste no haga el ejercicio más fácil. Un error de concepto (A·B = B·A, dividir entre una matriz, A − 3 en vez de A − 3I, la inversa en el lado equivocado) es un 0 en ese apartado.Calculation slip or conceptual error. A slip (3·4 = 11) costs only that step: the following steps are marked as correct if they are right with your wrong number, as long as the slip does not make the exercise easier. A conceptual error (A·B = B·A, dividing by a matrix, A − 3 instead of A − 3I, inverse on the wrong side) scores 0 in that part.
  4. Las conclusiones se escriben. "k = 1 y k = −2" no es una respuesta. "A es invertible para todo k salvo 1 y −2" sí lo es.Conclusions must be written. "k = 1 and k = −2" is not an answer. "A is invertible for every k except 1 and −2" is.
  5. Los puntos van de 0,1 en 0,1. Novedad de 2026: cada apartado vale un múltiplo de 0,1 puntos.Points go in steps of 0.1. New for 2026: each part is worth a multiple of 0.1 points.
  6. La presentación cuenta un poco. En Madrid un examen confuso o ilegible puede perder hasta 0,25 puntos. Las faltas de ortografía no se penalizan en esta asignatura.Presentation counts a little. In Madrid a messy or illegible exam can lose up to 0.25 points. Spelling is not penalised in this subject.
  7. Preguntas con opción. Cuando el examen real te deja elegir entre a) y b), contesta solo una. Si escribes las dos, solo cuenta la primera.Optional questions. When the real exam lets you choose between a) and b), answer only one. If you write both, only the first one counts.

Rutina para corregirteSelf-marking routine

  1. Deja de escribir cuando el reloj llegue a 0. Lo que escribas después no cuenta.Stop writing when the clock reaches 0. What you write afterwards does not count.
  2. Cambia a un boli de otro color.Switch to a pen of another colour.
  3. Abre "Solución y corrección" y marca una línea de la rúbrica solo si tu hoja enseña ese paso.Open "Solution and marking" and tick a rubric line only if your paper shows that step.
  4. Si es un error de cuentas, marca igualmente las líneas siguientes si el método está bien con tu número.For a calculation slip, still tick the later lines if the method is right with your number.
  5. Escribe al lado de cada fallo: qué hiciste, por qué está mal y qué había que hacer.Write next to each mistake: what you did, why it is wrong, what the right move is.
  6. Dos días después, rehaz solo los apartados que perdiste, sin mirar.Two days later, redo only the parts you lost, without looking.

Qué significa tu notaWhat your score means

8,5 a 108.5 to 10Lista para la pregunta de matrices. Haz un simulacro por semana para no perder velocidad.Ready for the matrices question. Keep one mock a week to stay fast.
6,5 a 8,46.5 to 8.4Las ideas están. Busca dónde se te fue el tiempo y repite esos ejercicios contra el reloj.The ideas are there. Find where the time went and redo those exercises against the clock.
Menos de 6,5Below 6.5Vuelve a lo imprescindible y a las simulaciones de los ejercicios que perdiste, y luego haz el siguiente simulacro.Go back to the must-knows and the labs for the exercises you lost, then sit the next mock.

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